Chứng minh với n thuộc N
n\(\ge\)2 có \(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{n^3}<\frac{1}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
26 tháng 6 2016
3a) ta có \(\frac{a^2}{a+b}=a-\frac{ab}{a+b}>=a-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
vì \(a,b>0,a+b>=2\sqrt{ab}nên\frac{ab}{a+b}< =\frac{ab}{2\sqrt{ab}}\)
tương tự \(\frac{b^2}{b+c}=b-\frac{bc}{b+c}>=b-\frac{bc}{2\sqrt{bc}}=b-\frac{\sqrt{bc}}{2}\)
tương tự \(\frac{c^2}{c+a}=c-\frac{ca}{c+a}>=c-\frac{ca}{2\sqrt{ca}}=c-\frac{\sqrt{ca}}{2}\)
cộng từng vế BĐT ta được \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=a+b+c-\frac{\sqrt{ab}}{2}-\frac{\sqrt{bc}}{2}-\frac{\sqrt{ca}}{2}=\frac{2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}}{2}\left(1\right)\)
giả sử \(\frac{2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}}{2}>=\frac{a+b+c}{2}\)
<=> \(2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}>=a+b+c\)
<=> \(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}>=0\)
<=> \(2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}>=0\)
<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2>=0\)
(đúng với mọi a,b,c >0) (2)
(1),(2)=> \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=\frac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)
7 tháng 2 2019
đpcm<=> 5/9.14+5/14.19+...+5/(5n-1)(5n+4)<1/9
<=>1/9-1/5n+4<1/9
<=>5n-5/45n+36<1/9(đúng với mọi n>=2)
Vậy ddpcm là đúng
25 tháng 1 2018
Tham khảo theo link này nhé!
Chứng minh: 1/2^3 + 1/3^3 + 1/4^3 + ... + 1/n^3 < 1/4 với n thuộc N, n ≥ 2 - Toán học Lớp 8 - Bài tập Toán học Lớp 8 - Giải bài tập Toán học Lớp 8 | Lazi.vn - Cộng đồng Tri thức & Giáo dục
29 tháng 6 2020
\(A< \frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+\frac{1}{3\cdot4\cdot5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)}\)
Nhận xét: mỗi số hạng tổng có dạng
\(\frac{1}{\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n\left(n-1\right)}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)
Từ đó suy ra: \(A< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3}-\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)< \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\left(đpcm\right)\)
9 tháng 8 2019
\(\frac{1}{3^3}< \frac{1}{2.3.4}\) \(\frac{1}{4^3}< \frac{1}{3.4.5}\) \(\frac{1}{5^3}< \frac{1}{4.5.6}\) ..... \(\frac{1}{n^3}< \frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
\(\Rightarrow B< \frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+\frac{1}{4.5.6}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
\(\Rightarrow B< \frac{1}{2}\left(\frac{2}{2.3.4}+\frac{2}{3.4.5}+\frac{2}{4.5.6}+...+\frac{2}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\right)\)
\(\Rightarrow B< \frac{1}{2}\left(\frac{4-2}{2.3.4}+\frac{5-3}{3.4.5}+\frac{6-4}{4.5.6}+...+\frac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\right)\)
\(\Rightarrow B< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+\frac{1}{4.5}-\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)
\(\Rightarrow B< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)=\frac{1}{12}-\frac{1}{2n\left(n+1\right)}< \frac{1}{12}\)