Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O , bán kính R . Lấy M trên cung nhỏ BC .Chứng minh rằng : MA = MB + MC .
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Nếu được sử dụng định lú Ptoleme thì bài này chứng minh rất đơn giản.
Không được sử dụng Ptoleme thì chúng ta dựng hình:
Dựng đường tròn tâm M bán kính MC cắt AM tại D \(\Rightarrow MC=MD\)
Mà \(\widehat{CMA}=\widehat{CBA}\) (cùng chắn cung AC) \(\Rightarrow\widehat{CMA}=60^0\)
\(\Rightarrow\Delta MCD\) đều \(\Rightarrow\widehat{MCD}=60^0\)
Lại có \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ACD}+\widehat{DCB}=60^0\\\widehat{BCM}+\widehat{DCB}=60^0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{BCM}\)
Đồng thời \(AC=BC\) ; \(CD=CM\Rightarrow\Delta ACD=\Delta BCM\) (c.g.c)
\(\Rightarrow AD=BM\)
\(\Rightarrow AM=AD+DM=BM+CM\) (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: ∆ ABD = ∆ CBM (cmt)
suy ra: AD = CM
Ta có: DM = BM ( tam giác MBD đều )
mà AM = AD + DM
suy ra: MA = MC + MB
Bạn tự vẽ hình nhé.
Lấy \(D\)thuộc \(AM\)sao cho \(MD=MB\)khi đó \(\Delta BMD\)là tam giác đều (tam giác cân có 1 góc bằng \(60^o\)là tam giác đều)
Ta có: \(\widehat{BAD}=\widehat{BCM}\)(1) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(BM\))
\(\widehat{BDA}=180^o-\widehat{BDM}=180^o-60^o=120^o\)
\(\widehat{BMC}=180^o-\widehat{BAC}=180^o-60^o=120^o\)
Suy ra \(\widehat{BDA}=\widehat{BMC}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ABD}=\widehat{CBM}\).
Xét \(\Delta BDA\)và \(\Delta BMC\)có:
\(BA=BC\)(do \(ABC\)là tam giác đều)
\(\widehat{ABD}=\widehat{CBM}\)(cmt)
\(BM=BD\)(do \(\Delta BDM\)đều)
\(\Rightarrow\Delta BDA=\Delta BMC\)(c - g - c)
Suy ra \(DA=MC\)(hai cạnh tương ứng)
Vậy \(MA=MD+DA=MC+MB\)(đpcm).