Cho biết a, b, c là các cạch của tam giác.Chứng minh rằng : a2 - b2 - c2 + 2bc >...
Đọc tiếp
Cho biết a, b, c là các cạch của tam giác.
Chứng minh rằng : a2 - b2 - c2 + 2bc > 0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
NH
2
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 12 2021
Vì a,b,c là 3 cạnh tam giác nên \(a+b>c\Leftrightarrow ac+bc>c^2\)
CMTT: \(ab+bc>b^2;ab+ac>a^2\)
Cộng vế theo vế \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< ab+bc+ca+ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< 2ab+2bc+2ca\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca< 0\)
H
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 4 2023
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(a^2+b^2+c^2\ge2ab-2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2bc-2a\left(b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+\left(b+c\right)^2-2a\left(b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
GN
0
PT
1
CM
20 tháng 8 2017
Ta có: a 2 = b 2 + c 2 + 2 b c ⇒ b 2 + c 2 − a 2 = − 2 b c
Áp dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác ta có:
cos A = b 2 + c 2 − a 2 2. b c = − 2 b c 2 b c = − 2 2 ⇒ A ^ = 135 °
Chọn A
Q
1
T
1
11 tháng 1 2022
Ta có a+b+c=0⇔(a+b+c)2=0⇔a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=0a+b+c=0⇔(a+b+c)2=0⇔a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=0
+) Nếu a2+b2+c2=2a2+b2+c2=2 thì ab+bc+ac=−22=−1⇔(ab+bc+ac)2=1⇔a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=1ab+bc+ac=−22=−1⇔(ab+bc+ac)2=1⇔a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=1
⇔a2b2+b2c2+c2a2=1⇔a2b2+b2c2+c2a2=1
Ta có : (a2+b2+c2)2=a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)=4(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)=4
⇔a4+b4+c2+2=4⇔a4+b4+c4=2⇔a4+b4+c2+2=4⇔a4+b4+c4=2
+ Nếu a2+b2+c2=1a2+b2+c2=1 làm tương tự
CM
1 tháng 6 2017
Xét tam thức f(x) = b2x2 - (b2 + c2 - a2)x + c2 có:
Δ = (b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
= (b2 + c2 - a2 - 2bc)(b2 + c2 - a2 + 2bc)
= [(b - c)2 - a2][(b + c)2 - a2]
= (b – c – a)(b – c + a)(b + c + a)(b + c – a).
Do a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác ta có:
b < c + a ⇒ b – c – a < 0
c < a + b ⇒ b – c + a > 0
a < b + c ⇒ b + c – a > 0
a, b, c > 0 ⇒ a + b + c > 0
⇒ Δ < 0 ⇒ f(x) cùng dấu với b2 ∀x hay f(x) > 0 ∀x (đpcm).
Ta có: \(a^2-b^2-c^2+2bc=a^2-\left(b^2+c^2-2bc\right)\)
\(=a^2-\left(b-c\right)^2=\left[a-\left(b-c\right)\right].\left[a+\left(b-c\right)\right]\)
\(=\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\)
Vì a, b , c là các cạnh của tam giác
\(\Rightarrow a+c>b\)\(\Rightarrow a+c-b>0\)
\(a+b>c\)\(\Rightarrow a+b-c>0\)
\(\Rightarrow\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)>0\)
hay \(a^2-b^2-c^2+2bc>0\)( đpcm )
\(a^2-b^2-c^2+2bc=\)\(a^2-\left(b^2-2bc+c^2\right)\)\(=a^2-\left(b-c\right)^2\)\(=\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\)
\(\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)\left(1\right)\)
Ta có theo bất đẳng thức tam giác thì: độ dài 1 cạnh bao giờ cũng nhỏ hơn tổng 2 cạnh còn lại
\(a+c>b\Rightarrow a+c-b>0\left(2\right)\)
\(a+b>c\Rightarrow a+b-c>0\left(3\right)\)
Từ (1) (2) (3) => \(\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)>0\)
\(\Rightarrow a^2-b^2-c^2+2bc>0\)