Cho \(a^2+b^2=c^2+d^2=5\)và \(ac+bd=3\)Tính\(ad-bc\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
BĐT cần c/m tương đương:
\(2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge2+\dfrac{3}{2}\sqrt{4+2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge2+\dfrac{3}{2}\sqrt{\left(a+b+c+d\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge2+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge4+3\left(a+b+c+d\right)\)
Dễ dàng chứng minh điều này bằng AM-GM:
\(a^3+a^3+1+b^3+b^3+1+c^3+c^3+1+d^3+d^3+1\ge3a^2+3b^2+3c^2+3d^2\)
\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)+4\ge12\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3\ge4\) (1)
Lại có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge\dfrac{1}{4}\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\Rightarrow a+b+c+d\le4\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge16\ge4+3.4\ge4+3\left(a+b+c+d\right)\) (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: \(=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-a^2-2ab-b^2-c^2=2bc+2ac\)
b: \(VT=a^2c^2+b^2d^2+2abcd+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)
\(=c^2\left(a^2+b^2\right)+d^2\left(a^2+b^2\right)\)
\(=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có :m^2=(ac+bd)^2=a^2c^2+2acbd+b^2d^2
n^2=(ad-bc)^2=a^2d^2-2adbc+b^2c^2
A=m^2+n^2=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2
=(a^2c^2+a^2d^2)+(b^2d^2+b^2c^2)+(2abcd-2abcd)
=a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2)+0
=(a^2+b^2)(c^2+d^2)
=23.37
=851
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: \(BC^2-BD^2=AC^2+AB^2-AB^2-AD^2=AC^2-AD^2\)
b: Xét ΔBDC có
AD<AC
mà AD là hình chiếu của BD trên DC
và AC là hình chiếu của BC trên DC
nên BD<BC
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1:
BC=BH+CH
=3,6+6,4
=10(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HC\)
=>\(AH=\sqrt{3.6\cdot6.4}=4.8\left(cm\right)\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot CB\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{3.6\cdot10}=6\left(cm\right)\\AC=\sqrt{6.4\cdot10}=8\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
Xét ΔABC vuông tại A có
\(sinC=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}\)
=>\(\widehat{C}\simeq37^0\)
ΔABC vuông tại A nên \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)
=>\(\widehat{B}\simeq90^0-37^0=53^0\)
2:
ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(BH\cdot BC=BA^2\left(1\right)\)
ΔABM vuông tại A có AD là đường cao
nên \(BD\cdot BM=BA^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(BH\cdot BC=BD\cdot BM\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: AD=5-2=3cm
b:
A nằm giữa B và C
=>BA+AC=BC
=>BA+AC=4(1)
B nằm giữa A và D
D nằm giữa O và A
=>OD+DA=OA
=>2+DA=5
=>DA=3 cm.
Ta có DB+BA =DA
DB+BA=3 (2)
Từ (1), (2) suy ra AC-DB=1(3)
=>2BD-BD=1
=>BD=1
=>AC=2cm
\(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=5.5\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=25\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2c^2+2abcd+b^2d^2\right)+\left(a^2d^2-2abcd+b^2c^2\right)=25\)
\(\Leftrightarrow\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=25\)
mà ac + bd = 3
\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2=25-3^2=16\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}ad-bc=4\\ad-bc=-4\end{cases}}\)