Question

[Trí Tiên亗]

Cuộc thi môn Tiếng Anh, toán vòng 1,... vào ngày 28/8!!

Đơn đăng kí :trả lời gồm 5 bài toán ( 1 bài lớp 6, 1 bài lớp 7, 2 bài lớp 8, 1 bài lớp 9); tiếng anh gồm 2 bài đơn giản  (Ai không trả lời thì nên đánh dấu câu hỏi này nhé) (Nếu không trả lời hay đánh dấu thì rất khó biết lịch thi và kết quả)

TOÁN:

Lớp 6:  ( 10sp cho 2 người trả lời đầu tiên với điều kiện người thứ 2 cách khác người thứ nhất)

Tìm  \(n\in z\)và \(n>-2\)để phân số \(\frac{n+7}{n+2}\)tối giản

Lớp 7: ( 15 sp cho 1 người trả lời đầu; 2sp cho hình vẽ ) 

Cho \(\Delta ABC\), đường phân giác AD. Trên đoạn thẳng AD lấy các điểm E và F sao cho \(\widehat{ABE}=\widehat{CBF}\). Chứng minh rằng \(\widehat{ACE}=\widehat{BCF}\)

Lớp 8: ( bài toán số 20sp; toán hình 15sp cho 2 người đầu tiên )

Câu 1: Giai các bất phương trình sau: 

a)\(\frac{5x^2-3}{5}+\frac{3x-1}{4}< \frac{x\left(2x+3\right)}{2}-5\)

b) \(\left(5x-\frac{2}{3}\right)-\frac{2x^2-x}{2}\ge\frac{x\left(1-3x\right)}{3}-\frac{5x}{4}\)

Câu 2: Cho \(\Delta ABC\)vuông tại A. Chọn trên AB điểm D kẻ Dx // AC cắt BC tại E thỏa mãn điều kiện \(AE\perp CD\)tại K, và \(\frac{CD}{AE}=\frac{m}{n}\). Tính \(\frac{S_{BDE}}{S_{ADEC}}\)

Lớp 9: ( 25s cho 2 người 2 cách giải)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c\le1\). Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{cb\left(c+b\right)}+\frac{1}{ac\left(a+c\right)}\ge\frac{87}{2}\)

Tiếng Anh: ( 15sp cho 1 người )

 Fill in each blank with the appropriate forms of the word in bracket.

1. There is a ……….. of books on the shelf. (collect)

2. It is very …………….. for people in remote areas to get to hospitals. (convenience)

3. He is very …………. with his hands. (skill)

4. It is said that water collected from the local streams is ………… to drink. (safe)

5. I like to eat ………., so I eat a lot of fruits and vegetables every day. (health)

thời gian làm bài :từ h đến chiều ngày mai vào lúc 15h ( 3 giờ chiều )

Thời gian công bố kết quả 9:30 lúc 15h30

(bạn nào trên 1000 điểm hỏi đáp có thể tham gia tài trợ sp , các bạn tài trợ cũng có thể tham gia) 

NỘI QUY : KHÔNG COP BÀI, KHÔNG CHÉP MẠNG ( khuyến cáo làm bài thi nên ghi câu mấy để dễ chấm )

Answer 1

[Nguyễn Thái Sơn]

Tiếng Anh: ( 15sp cho 1 người )

 Fill in each blank with the appropriate forms of the word in bracket.

1. There is a collection of books on the shelf. (collect)

2. It is very inconvinient  for people in remote areas to get to hospitals. (convenience)

3. He is very skillful with his hands. (skill)

4. It is said that water collected from the local streams is safe to drink. (safe)

5. I to eat healthy, so I eat a lot of fruits and vegetables every day. (health)

Answer 2

[Kiệt Nguyễn]

Theo AM - GM cho 3 số dương: \(\frac{1}{ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)(*)

Tiếp tục sử dụng AM - GM, ta được: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\frac{8\left(a+b+c\right)^3}{27}\le\frac{8}{27}\)(do \(a+b+c\le1\))

và \(a^2b^2c^2\le\frac{\left(ab+bc+ca\right)^3}{27}\)

Từ đó suy ra \(a^2b^2c^2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\frac{8\left(ab+bc+ca\right)^3}{27^2}\)(**)

Từ (*) và (**) suy ra \(\frac{1}{ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)}\ge\frac{27}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

Đến đây, ta cần chứng minh \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{27}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{87}{2}\)(***)

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{27}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{23}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)\(\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{23}{2.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\ge\frac{87}{2}\)*đúng theo (***)*

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)