Question

[Phạm Trung Kiên]

cho tam giác ABC, lấy điểm D trên cạnh BC. CMR

AB² . CD + AC² . DB - AD² . BC = CD . DB . BC

Answer 1

[Akai Haruma]

Hình vẽ:

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:

Áp dụng định lý Cos ta có:

$AB^2=AD^2+BD^2-2AD.BD\cos \widehat{ADB}$

$\Rightarrow AB^2.CD=AD^2.CD+BD^2.CD-2AD.BD.CD\cos \widehat{ADB}(1)$

$AC^2=AD^2+CD^2-2AD.CD\cos \widehat{ADC}$

$=AD^2+CD^2-2AD.CD\cos (180-ABD)$

$=AD^2+CD^2+2AD.CD\cos \widehat{ABD}$

$\Rightarrow AC^2.DB=AD^2.DB+CD^2.DB+2AD.CD.DB\cos \widehat{ABD}(2)$

Lấy $(1)+(2)$ ta có:

$AB^2.CD+AC^2.DB=AD^2.BC+BD.CD.BC$

$\Leftrightarrow AB^2.CD+AC^2.DB-AD^2.BC=BD.CD.BC$ (đpcm)