Cho x,y >0 và x+y =4xy.
C/m \(\frac{x}{4y^2+1}+\frac{y}{4x^2+1}\ge\frac{1}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 5 2018
\(x^4y+x^2y-x^2y=x^2y\left(x^2+1\right)-x^2y.\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{x^2y\left(x^2+1\right)-x^2y}{\left(x^2+1\right)}=x^2y-\frac{x^2y}{\left(x^2+1\right)}\\\frac{y^2z\left(y^2+1\right)-y^2z}{\left(y^2+1\right)}=y^2z-\frac{y^2z}{\left(y^2+1\right)}\\\frac{z^2x\left(z^2+1\right)-z^2x}{\left(z^2+1\right)}=z^2x-\frac{z^2x}{\left(z^2+1\right)}\end{cases}}Vt\ge x^2y+y^2z+z^2x-\left(\frac{x^2y}{x^2+1}+\frac{y^2z}{y^2+1}+\frac{z^2x}{z^2+1}\right)\)
\(\hept{\begin{cases}x^2+1\ge2x\\y^2+1\ge2y\\z^2+1\ge2z\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-\frac{x^2y}{x^2+1}\ge\frac{x^2y}{2x}=\frac{xy}{2}\\\frac{y^2z}{2y}=\frac{yz}{2}\\\frac{z^2x}{2z}=\frac{xz}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}VT\ge x^2y+y^2z+z^2x-\left(\frac{xy+yz+zx}{2}\right)}\)
\(x^2y+y^2z+z^2x\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3\)
\(VT\ge3-\frac{\left(xy+yz+zx\right)}{2}\)
t chỉ làm dc đến đây thôi :))
27 tháng 5 2018
Từ \(VT\ge x^2y+y^2z+z^2x-\left(\frac{xy+yz+zx}{2}\right)\)ta có:
\(x^2y+x^2y+y^2z=x^2y+x^2y+\frac{y}{x}\ge3xy\)(áp dụng BĐT Cauchy)
Tương tự : \(y^2z+y^2z+z^2x\ge3yz\); \(z^2x+z^2x+x^2y\ge3zx\)
Cộng vế theo vế suy ra : \(3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{xy+yz+zx}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu '=' xảy ra khi x = y = z = 1
TN
22 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=3\)
Khi đó \(\frac{1}{4x^2+y^2+z^2}=\frac{1}{3x^2+x^2+y^2+z^2}\le\frac{1}{3x^2+3}\)
Viết lại BĐT cần chứng minh như sau:
\(\frac{1}{3x^2+3}+\frac{1}{3y^2+3}+\frac{1}{3z^2+3}\le\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\le\frac{3}{2}\)
Ta có BĐT phụ \(\frac{1}{x^2+1}\le-\frac{1}{2}x+1\)
\(\Leftrightarrow-\frac{x\left(x-1\right)^2}{2\left(x^2+1\right)}\ge0\) *luôn đúng*
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{1}{y^2+1}\le-\frac{1}{2}y+1;\frac{1}{z^2+1}\le-\frac{1}{2}z+1\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\le-\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)+3=-\frac{3}{2}+3=\frac{3}{2}=VP\)
Xảy ra khi x=y=z=1
22 tháng 7 2017
Cho mih hỏi bđt phụ đó là sao, có thể CM giùm mih đc hok
R
12 tháng 6 2017
thế nào nhỉ ( :
Từ giả thiết => 1/x +1/y +1/z <= 1
A/d BĐT 1/(x +y+z) <= 1/9 ( 1/x + 1/y +1/z ) và 1/(x+y) <= 1/4 ( 1/x +1/y )
=> 1/(4x + y+z) = 1/(x+x + y+x + z+x) <= 1/9 ( 1/2x + 1/(y+x) + 1/(z+x) ) <= 1/9 ( 1/(2x) + 1/4(1/y +1/x) + 1/4(1/x + 1/z))
Tương tự cộng lại và sử dụng 1/x +1/y +1/z <= 1
được P <= 1/6(1/x +1/y +1/z) <= 1/6 ĐPCM.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 5 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(A=\frac{3}{4}x+\frac{1}{x}+\frac{3}{4}y+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}(x+y)+(\frac{x}{4}+\frac{1}{x})+(\frac{y}{4}+\frac{1}{y})\)
\(\geq \frac{1}{2}.4+2\sqrt{\frac{x}{4}.\frac{1}{x}}+2\sqrt{\frac{y}{4}.\frac{1}{y}}=4\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=2$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 10 2019
1/ ĐKXĐ: \(x\ge1;y\ge4\)
\(M=\frac{1\sqrt{x-1}}{x}+\frac{2.\sqrt{y-4}}{2y}\le\frac{1+x-1}{2x}+\frac{4+y-4}{4y}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
\(M_{max}=\frac{3}{4}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}=1\\\sqrt{y-4}=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=8\end{matrix}\right.\)
2/ \(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+x^2+4x+4=8\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x+2\right)^2=8=2^2+2^2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2=4\\\left(x+2\right)^2=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow...\)
3/ \(\frac{x^2}{y^2}+1\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}}=\frac{2x}{y}\)
Tương tự: \(\frac{y^2}{z^2}+1\ge\frac{2y}{z}\) ; \(\frac{z^2}{x^2}+1\ge\frac{2z}{x}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}+3\ge\frac{2x}{y}+\frac{2y}{z}+\frac{2z}{x}=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}+3\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+3\sqrt{\frac{xyz}{xyz}}=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+3\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Ta có : \(\frac{x}{4y^2+1}=x-\frac{4xy^2}{4y^2+1};\frac{y}{4x^2+1}=y-\frac{4x^2y}{4x^2+1}\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có :
\(4y^2+1\ge4y;4x^2+1\ge4x\)
\(\Rightarrow x-\frac{4xy^2}{4y^2+1}+y-\frac{4x^2y}{4x^2+1}\ge x-\frac{4xy^2}{4y}+y-\frac{4x^2y}{4x}\)
\(=x+y-2xy=2xy\)
Đến đây ta áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(x+y=4xy\Leftrightarrow\frac{1}{xy}=\frac{4}{x+y}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{xy}\le4\Leftrightarrow2xy\ge\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{4y^2+1}+\frac{y}{4x^2+1}\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\4y^2=1\\4x^2=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}}\)
Bạn trên đã chứng minh \(xy\ge\frac{1}{4}\) rồi nên mình xin phép không trình bày
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta dễ có:
\(LHS=\frac{x^2}{4xy^2+x}+\frac{y^2}{4x^2y+y}\)
\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)}=\frac{\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right)}\)
Ta cần đi chứng minh:
\(\frac{\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge x+y\Leftrightarrow x+y\ge1\)
Điều này là hiển nhiên vì theo AM - GM ta có:\(x+y\ge2\sqrt{xy}=1\)
Vậy ta có đpcm