Question

[Trần Thu Phương]

Cho đường tròn (O) có hai đường kính MN và PQ vuông góc với nhau . Gọi S là một điểm trên cung nhỏ MQ , SP cắt OM tại R .

a) Chứng minh : \(\frac{MR.SQ}{OR.MS}=\sqrt{2}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Hình vẽ:

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:
Xét tam giác $MRS$ và $PRN$ có:

$\widehat{MRS}=\widehat{PRN}$ (đối đỉnh)

$\widehat{RMS}=\widehat{RPN}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $SN$)

$\Rightarrow \triangle MRS\sim \triangle PRN$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{MR}{MS}=\frac{PR}{PN}(*)$

Xét tam giác $PRO$ và $PQS$ có:

$\widehat{POR}=\widehat{PSQ}(=90^0)$

Chung góc $\widehat{P}$

$\Rightarrow \triangle PRO\sim \triangle PQS$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{SQ}{OR}=\frac{PQ}{PR}(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow \frac{MR}{MS}.\frac{SQ}{OR}=\frac{PQ}{PN}=\frac{2R}{\sqrt{PO^2+ON^2}}=\frac{2R}{\sqrt{R^2+R^2}}=\sqrt{2}$ (đpcm)