Question

[Ngọc Lan Đinh]

tìm cực trị hàm số z=xy+7x+7y trong đó (x+2)²+(y+2)²=98

xét sự hội tụ của tích phân suy rộng:

\(\int_{-2}^7\frac{dx}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(7-x\right)}}\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Dễ dàng nhận thấy hàm dưới dấu tích phân dương

Đặt \(I=\int\limits^0_{-2}\frac{dx}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(7-x\right)}}+\int\limits^7_0\frac{dx}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(7-x\right)}}=A+B\)

Xét \(A=\int\limits^0_{-2}\frac{dx}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(7-x\right)}}\)

\(f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(7-x\right)}}\) ; chọn \(g\left(x\right)=\frac{1}{\left(x+2\right)^{\frac{1}{2}}}\)

\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow-2^+}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{1}{\sqrt{5}}\) hữu hạn \(\Rightarrow\int\limits^0_{-2}f\left(x\right)dx\) và \(\int\limits^0_{-2}g\left(x\right)dx\) cùng hội tụ hoặc phân kỳ

Mà \(\int\limits^0_{-2}\frac{dx}{\left(x+2\right)^{\frac{1}{2}}}\) có \(\alpha=\frac{1}{2}< 1\) nên hội tụ \(\Rightarrow A\) hội tụ

Tương tự: xét \(B=\int\limits^7_0\frac{dx}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(7-x\right)}}\)

\(f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(7-x\right)}}\) chọn \(g\left(x\right)=\frac{1}{\left(7-x\right)^{\frac{1}{2}}}\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow7^-}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{1}{3}\) hữu hạn

\(\Rightarrow\int\limits^7_0f\left(x\right)dx\) và \(\int\limits^7_0g\left(x\right)dx\) cùng bản chất

\(\alpha=\frac{1}{2}< 1\Rightarrow\int\limits^7_0g\left(x\right)dx\) hội tụ \(\Rightarrow B\) hội tụ

\(\Rightarrow I=A+B\) hội tụ

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Tìm theo pp Lagrange bị 1 điểm cực trị có \(B^2-AC=0\) ko kết luận được, do đó nên đưa về cực trị của hàm 1 biến

\(\left(x+2\right)^2+\left(y+2\right)^2=98\Leftrightarrow\left(\frac{x+2}{7\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{y+2}{7\sqrt{2}}\right)^2=1\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x+2}{7\sqrt{2}}=sint\\\frac{y+2}{7\sqrt{2}}=cost\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=7\sqrt{2}sint-2\\y=7\sqrt{2}cost-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow z=98sint.cost+35\sqrt{2}\left(sint+cost\right)-24\)

Đặt \(\sqrt{2}\left(sint+cost\right)=a\Rightarrow-2\le a\le2\)

\(\Rightarrow sint.cost=\frac{a^2}{4}-\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow z=\frac{49}{2}a^2+35a-73\) với \(a\in\left[-2;2\right]\)

\(z'_a=49a+35=0\Rightarrow a=-\frac{5}{7}\)

\(z\left(-2\right)=-45;z\left(2\right)=95;z\left(-\frac{5}{7}\right)=-\frac{171}{2}\)

\(\Rightarrow z_{min}=-\frac{171}{2}\) khi \(a=-\frac{5}{7}\) ; \(z_{max}=95\) khi \(a=2\)