Cho \(a,b,c\inℝ\). Chứng minh \(\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|+\left|a+b+c\right|\ge\left|a+b\right|+\left|b+c\right|+\left|c+a\right|\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(VT=\sqrt{\left(2+2a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}\)
\(VT=\sqrt{\left[a^2-2a+1+a^2+2a+1\right]\left[b^2+2bc+c^2+b^2c^2-2bc+1\right]}\)
\(VT=\sqrt{\left[\left(1-a\right)^2+\left(a+1\right)^2\right]\left[\left(bc-1\right)^2+\left(b+c\right)^2\right]}\)
Bunhiacopxki:
\(VT\ge\left(1-a\right)\left(bc-1\right)+\left(a+1\right)\left(b+c\right)=\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)-2\left(1+abc\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
đang luyện Bu-nhi-a-cốp-ski :))
lời giải
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski,ta có :
\(\left(a^2+1\right)\left[1+\left(b+c\right)^2\right]\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{3}{4}\left(a^2+1\right)\left[1+\left(b+c\right)^2\right]\ge\frac{3\left(a+b+c\right)^2}{4}\)
Cần chứng minh : \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{3}{4}\left(a^2+1\right)\left[1+\left(b+c\right)^2\right]\)
\(\Leftrightarrow4\left(b^2c^2+b^2+c^2+1\right)\ge3\left(b^2+c^2+2bc+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(2bc-1\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\)
Dấu"=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{1}=\frac{1}{b+c}\\b=c\\2bc=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\sqrt{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(ac+bc\right)^2}=ac+bc\)
CMTT : \(\sqrt{\left(a^2+d^2\right)\left(b^2+d^2\right)}\ge ad+bd\)
Ta có :\(\sqrt{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}+\sqrt{\left(a^2+d^2\right)\left(b^2+d^2\right)}\ge ac+bc+ad+bd=\left(a+b\right)\left(c+d\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
2) Theo nguyên lí Dirichlet, trong ba số \(a^2-1;b^2-1;c^2-1\) có ít nhất hai số nằm cùng phía với 1.
Giả sử đó là a2 - 1 và b2 - 1. Khi đó \(\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\ge0\Leftrightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1\ge0\)
\(\Rightarrow a^2b^2+3a^2+3b^2+9\ge4a^2+4b^2+8\)
\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\) (2)
Mà \(4\left[\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\right]\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\) (3)(Áp dụng Bunhicopxki và cái ngoặc vuông)
Từ (2) và (3) ta có đpcm.
Sai thì chịu
Xí quên bài 2 b:v
b) Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(a^2-\frac{1}{4}\right)\left(b^2-\frac{1}{4}\right)\ge0\)
Suy ra \(a^2b^2-\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{4}b^2+\frac{1}{16}\ge0\)
\(\Rightarrow a^2b^2+a^2+b^2+1\ge\frac{5}{4}a^2+\frac{5}{4}b^2+\frac{15}{16}\)
Hay \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{3}{4}\right)\)
Suy ra \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+c^2+\frac{1}{2}\right)\)
\(\ge\frac{5}{4}\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{16}\left(a+b+c+1\right)^2\) (Bunhiacopxki) (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)