K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

12 tháng 5 2020

Ta có: \(A=9x+\frac{1}{9x}-\frac{6\sqrt{x}+8}{x+1}+2020\)

\(A=9x+\frac{1}{9x}-\frac{x+6\sqrt{x}+9}{x+1}+2021\)

\(A=9x+\frac{1}{9x}-\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)^2}{x+1}+2021\)

Ta có \(9x+\frac{1}{9x}\ge\sqrt[2]{9x\cdot\frac{1}{9x}}=2\) (BĐT Cosi)

\(\left(1\cdot\sqrt{x}+3\cdot1\right)^2\le\left(1^2+3^2\right)\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+1^2\right]=10\left(x+1\right)\)(BĐT Bunhiacopsky)

=> \(\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)^2}{x+1}\le\frac{10\left(x+1\right)}{x+1}=10\)

\(\Rightarrow\frac{-\left(\sqrt{x}+3\right)^2}{x+1}\ge-10\)

=> A >= -2-10+2021=2013

Xử lý tiếp phần dấu "="

17 tháng 10 2020

Với \(\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)=4\); mà \(4=2.2\)

Có ngay ĐK : \(\left(\sqrt{x}+1\right)\)và \(\left(\sqrt{y}+1\right)\)bằng 2.

\(x=1,y=1\)với TH \(\sqrt{1}=1\)

\(S=\frac{x^4}{y}+\frac{y^4}{x}\). Như phía trên :

\(x=1,y=1\)\(\Rightarrow S=\frac{1^4}{1}+\frac{1^4}{1}\Rightarrow S=1+1=2\)

17 tháng 10 2020

Chả ai giải theo cách trẻ trâu như bạn đâu (: 

26 tháng 7 2017

đkxđ là \(x\ne1;x>0\)

\(Q=\frac{\sqrt{x}\left(\left(\sqrt{x}\right)^3-1\right)}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}+\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

\(Q=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{x}+1}-2\sqrt{x}-1+\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

\(Q=x-\sqrt{x}-2\sqrt{x}-1+2\sqrt{x}+2=x-\sqrt{x}+1\)

gtnn \(x-\sqrt{x}+1=x-\frac{1}{2}.2.\sqrt{x}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)

gtnn 3/4

ý c bạn tự làm nha mk chịu

27 tháng 7 2017

mình cảm ơn bạn nha 

17 tháng 10 2020

Từ \(x+y=1\)\(\Rightarrow\)

\(P=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}=\left(\frac{x}{\sqrt{y}}+\sqrt{y}\right)+\left(\frac{y}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)

\(\ge2\sqrt{x}+2\sqrt{y}-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)(1)

Có thể viết lại \(P=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}=\frac{1-y}{\sqrt{y}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}}=\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right)-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(2S\ge\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge\frac{2}{\sqrt[4]{xy}}\ge\frac{2}{\sqrt{\frac{x+y}{2}}}=2\sqrt{2}\)\(\Rightarrow S\ge\sqrt{2}\)

Dễ thấy dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

8 tháng 8 2016

Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Ta có : \(M=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\ge\frac{4}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}}\)

Mặt khác, theo bđt Bunhiacopxki : \(\left(1.\sqrt{1+x^2}+1.\sqrt{1+y^2}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(2+x^2+y^2\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}\le\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)

Do đó : \(M\ge\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\). Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2=8\\\sqrt{1+x^2}=\sqrt{1+y^2}\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=2\)(vì x,y >0)

Vậy \(MinM=\frac{2\sqrt{5}}{5}\Leftrightarrow x=y=2\)

8 tháng 8 2016

\(M\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}}\ge\frac{4}{\frac{1+x^2+5+1+y^2+5}{2\sqrt{5}}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
dấu = xảy ra khi x=y và x^2+y^2=8=> x=y=2

NV
23 tháng 3 2022

\(x^3+y^3+3xy\le1\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-1-3xy\left(x+y\right)+3xy\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left[\left(x+y\right)^2+x+y+1\right]-3xy\left(x+y-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(x^2+y^2-xy+x+y+1\right)\le0\)

Do \(x^2+y^2-xy+x+y+1=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+x+y+1>0\)

\(\Rightarrow x+y-1\le0\Rightarrow x+y\le1\)

\(\Rightarrow P=\left(x+\dfrac{1}{4x}\right)+\left(y+\dfrac{1}{4y}\right)+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)

\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{\dfrac{x}{4x}}+2\sqrt{\dfrac{y}{4y}}+\dfrac{3}{4}.\dfrac{4}{x+y}\ge2+\dfrac{3}{4}.\dfrac{4}{1}=5\)

\(P_{min}=5\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

23 tháng 3 2022

Dạ , em cám ơn thầy Lâm nhiều ạ!