Cho đường trong ( O ) đường kính AB. Vẽ đường tròn ( O' ) dduongf kính AO. Lấy điểm D thuộc đường ( O' ). Tia OD cắt đường tròn ( O ) tại E, AE cắt đường tròn ( O' ) tại F khác A; OF cắt AD tại H
1) Chứng minh rằng tứ giác EDHF nội tiếp được trong 1 đường tròn
2) Tan giác AFD là tam giác gì ? Vì sao ?
3) Tiếp tuyến tại E của đường trong ( O ) cắt Ò ở M. Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn
4) Đường tròn ngoại tiếp tam giác EHO cắt đường trong ( O ) ở điểm thứ hai K. Chứng minh rằng 3 điểm A, D, K thẳng hàng
Giúp mk với ạ , cần gấp, làm được bao nhiêu thì làm e tick cho
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ADB=\angle ACB=90\)
\(\Rightarrow\angle FDE+\angle FCE=90+90=180\Rightarrow ECFD\) nội tiếp
b) GH cắt AD tại F'.F'B cắt AE tại C'
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}F'H\bot AB\\BD\bot AF'\end{matrix}\right.\Rightarrow E\) là trực tâm \(\Delta F'AB\Rightarrow AE\bot F'B\Rightarrow AC'\bot F'B\)
mà AB là đường kính \(\Rightarrow C'\in\left(O\right)\Rightarrow C\equiv C'\Rightarrow F'\equiv F\Rightarrow\) đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1) \(\Delta AOC\)cân tại O có OD là đường cao nên cũng là phân giác của \(\widehat{AOC}\), do đó \(\widehat{AOD}=\widehat{COD}\Rightarrow\widebat{AD}=\widebat{DM}\)
nên DA = DM. Vậy tam giác AMD cân tại D (đpcm)
2) Dễ thấy \(\Delta OEA=\Delta OEC\left(c-g-c\right)\), từ đó suy ra được \(\widehat{OAE}=\widehat{OCE}=90^0\)
Do đó \(AE\perp AB\). Vậy AE là tiếp tuyến chung của \(\left(O\right)\)và \(\left(O'\right)\)
3) Giả sử AM cắt \(\left(O\right)\)tại \(N'\). Ta có \(\Delta OAN'\)cân tại O và \(OM\perp AN'\)nên OM là đường trung trực của AN'. Từ đó ta được CA = CN'
Ta có \(\widehat{CN'A}=\widehat{CAM}\) mà \(\widehat{CAM}=\widehat{DOM}\), do đó \(\widehat{CN'H}=\widehat{COH}\). Suy ra bốn điểm C, N', O, H thuộc một đường tròn. Suy ra N' thuộc đường tròn ngoại tiếp \(\Delta CHO\). Do vậy \(N'\equiv N\)
Vậy ba điểm A, M, N thẳng hàng (đpcm)
4) Vì ME song song với AB và \(AB\perp AE\)nên \(ME\perp AE\)
Ta có hai tam giác MAO, EMA đồng dạng nên \(\frac{MO}{EA}=\frac{MA}{EM}=\frac{AO}{MA}\Rightarrow MA^2=AO.EM\)
Dễ thấy \(\Delta MEO\) cân tại M nên ME MO. = Thay vào hệ thức trên ta được\(MA^2=AO.MO\)
Đặt MO = x > 0 \(\Rightarrow MA^2=OA^2-MO^2=a^2-x^2\)
Từ \(MA^2=AO.MO\) suy ra \(a^2-x^2=ax\Leftrightarrow x^2+ax-a^2=0\)
Từ đó tìm được \(x=\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)a}{2}\)
Vậy \(OM=\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)a}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có góc AEB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn => góc AEB = 90 độ
Tam giác HEM vuông tại E có :
IE là đường trung tuyến ( I là trung điểm HM) => IE = 1/2.HM
C/m tương tự , ta dc IF = 1/2.HM vậy IE = IF (1)
Mà OE = OF ( =R) nên OI là đường trung trực của EF => OI vuông góc với EF