Bài 2: Cho tam giác ABC , các đường phân giác AD, BE, CF. Biết BC= 36cm, CA= 30cm , AB = 18cm . Tính độ dài các đoạn BD, DC , EA, EC , FA, FB.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét tam giác ABC có: AD là phân giác (gt).
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\) (Tính chất đường phân giác).
\(\Rightarrow\dfrac{DB}{DC+DB}=\dfrac{AB}{AC+AB}.\)
\(\Rightarrow\dfrac{DB}{BC}=\dfrac{AB}{AC+AB}.\)
\(Thay:\) \(\dfrac{DB}{36}=\dfrac{18}{30+18}.\Leftrightarrow DB=13,5.\)
\(DC=BC-DB=36-13,5=22,5.\)
Xét tam giác ABC có: BE là phân giác (gt).
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{AB}{BC}\) (Tính chất đường phân giác).
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{EA}{EC+EA}=\dfrac{AB}{BC+AB}.\)
\(\Rightarrow\dfrac{EA}{AC}=\dfrac{AB}{BC+AB}.\)
\(Thay:\) \(\dfrac{EA}{30}=\dfrac{18}{36+18}\Leftrightarrow EA=10.\)
\(\Rightarrow EC=AC-EA=30-10=20.\)
Xét tam giác ABC có: CF là phân giác (gt).
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{AB}{BC}\) (Tính chất đường phân giác).
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{FA}{FB+FA}=\dfrac{AB}{BC+AB}.\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{FA}{AB}=\dfrac{AB}{BC+AB}.\)
\(Thay:\) \(\dfrac{FA}{18}=\dfrac{18}{36+18}\Leftrightarrow FA=6.\)
\(\Rightarrow\) \(FB=AB-FA=18-6=12.\)
áp dụng định lý phân giác ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\\\dfrac{EC}{EA}=\dfrac{BC}{AB}\\\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{AC}{BC}\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}.\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{AB}{AC}.\dfrac{BC}{AB}.\dfrac{AC}{BC}=1\)
DB/DC*EC/EA*FA/FB
\(=\dfrac{AB}{AC}\cdot\dfrac{BC}{BA}\cdot\dfrac{CA}{CB}=1\)
DB/DC=AB/AC
EC/EA=BC/BA
FA/FB=CA/CB
=>DB/DC*EC/EA*FA/FB=(AB*BC*AC)/(AC*BA*CB)=1
Áp dụng t/c đường phân giác, ta có:
\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}\) ( 1 )
\(\dfrac{BC}{BA}=\dfrac{EC}{EA}\) ( 2 )
\(\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{FA}{FB}\) ( 3 )
Nhân từng vế (1);(2);(3) ta được:
\(\dfrac{AB}{AC}\times\dfrac{BC}{BA}\times\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{BD}{CD}\times\dfrac{EC}{EA}\times\dfrac{FA}{FB}\)
\(\Leftrightarrow1=\dfrac{BD}{CD}\times\dfrac{EC}{EA}\times\dfrac{FA}{FB}\)
ADAD là đường phân giác ˆA→ABAC=DBDCA^→ABAC=DBDC
BEBE là đường phân giác ˆB→BCBA=ECEAB^→BCBA=ECEA
CFCF là đường phân giác ˆC→CACB=FAFBC^→CACB=FAFB
→DBDC.ECEA.FAFB=ABAC.BCBA.CACB=AB.BC.CAAC.BA.CB=1
Theo tính chất đường phân giác, tam giác ABC có:
\(\frac{AF}{BF}=\frac{AC}{BC}=\frac{30}{36}=\frac{5}{6}\Rightarrow6AF-5BF=0\)
Mặt khác \(AF+BF=AB=18\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}FA=\frac{90}{11}\\FB=\frac{108}{11}\end{matrix}\right.\)
Tương tự ta cũng có: \(\left\{{}\begin{matrix}EA=20\\EC=10\end{matrix}\right.\); \(\left\{{}\begin{matrix}DB=\frac{45}{4}\\DC=\frac{75}{4}\end{matrix}\right.\)
KL: Vậy ..................