a,b thực dương. Tìm Min P = \(\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 11 2017
Theo bài có : \(\sqrt{ab}=\frac{a+b}{a-b}\) (1) nên suy ra : \(\frac{a+b}{a-b}\ge0\)
Mà a+b > 0 do a,b là số thực dương nên suy ra : a-b > 0 hay a > b
Có : \(\sqrt{ab}=\frac{a+b}{a-b}\)
\(\Leftrightarrow\)ab = \(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}\)=\(\frac{\left(a-b\right)^2+4ab}{\left(a-b\right)^2}\)= \(1+\frac{4ab}{\left(a-b\right)^2}\)
Ta có : P = ab + \(\frac{a-b}{\sqrt{ab}}\)= \(1+\frac{4ab}{\left(a-b\right)^2}\) + \(\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}\)+ \(\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}\) \(\ge\)4\(\sqrt[4]{1.\frac{4ab}{\left(a-b\right)^2}.\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}.\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}}\)= 4\(\sqrt[4]{1}\)= 4 ( theo BĐT Cô -si)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}=1\\\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}=\frac{4ab}{\left(a-b\right)^2}\\\frac{4ab}{\left(a-b\right)^2}=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow a=b.\left(\sqrt{2}+1\right)^2\)
Thay a = b.\(\left(\sqrt{2}+1\right)^2\)vào (1) rồi tính ra ta được :\(\hept{\begin{cases}a=2+\sqrt{2}\\b=2-\sqrt{2}\end{cases}}\left(thỏamãn\right)\)
Vậy P min = 4 đạt được khi \(\hept{\begin{cases}a=2+\sqrt{2}\\b=2-\sqrt{2}\end{cases}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 9 2019
\(P=\frac{4a^2}{\sqrt{16b\left(b+15c\right)}}+\frac{4b^2}{\sqrt{16c\left(c+15a\right)}}+\frac{4c^2}{\sqrt{16a\left(a+15c\right)}}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{8a^2}{17b+15c}+\frac{8b^2}{17c+17a}+\frac{8c^2}{17a+15b}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{32\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{4}\ge\frac{\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}\)
\(P_{min}=\frac{\sqrt{3}}{4}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
không biết