Cho x,y,z là các số nguyên dương.CMR biểu thức sau ko có giá trị nguyên.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 4 2023
Lời giải:
Ta có:
$A> \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1(1)$
Mặt khác:
$\frac{x}{x+y}-\frac{x+z}{x+y+z}=\frac{-yz}{(x+y)(x+y+z)}<0$ với mọi $x,y,z$ nguyên dương.
$\Rightarrow \frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}$
Hoàn toàn tương tự:
$\frac{y}{y+z}< \frac{x+y}{x+y+z}$
$\frac{z}{z+x}< \frac{z+y}{z+y+x}$
Cộng các BĐT trên lại ta có:
$A< \frac{x+y}{x+y+z}+\frac{y+z}{x+y+z}+\frac{z+x}{x+y+z}=2(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow 1< A< 2$ nên $A$ không thể có giá trị nguyên.
12 tháng 6 2017
* C/m : A > 1
Ta có :
\(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\)( vì x > 0 ; 0 < x + y < x + y + z )
\(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z}\)( vì y > 0 ; 0 < y + z < x + y + z )
\(\frac{z}{z+x}>\frac{z}{x+y+z}\)( vì z > 0 ; 0 < z + x < x + y + z )
\(\Rightarrow\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow A>\frac{x+y+z}{x+y+z}\Rightarrow A>1\)
* C/m : A < 2
Áp dụng BĐT : \(\frac{a}{b}< 1\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+n}{b+n}\) ( a,b,n \(\in\)N* )
Với x,y,z \(\in\)N* ta có :
- Vì : 0 < x < x + y \(\Rightarrow\frac{x}{x+y}< 1\Rightarrow\frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}\)
- Vì : 0 < y < y + z \(\Rightarrow\frac{y}{y+z}< 1\Rightarrow\frac{y}{y+z}< \frac{x+y}{x+y+z}\)
- Vì : 0 < z < z + x \(\Rightarrow\frac{z}{z+x}< 1\Rightarrow\frac{z}{z+x}< \frac{z+y}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}< \frac{x+z}{x+y+z}+\frac{x+y}{x+y+z}+\frac{y+z}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow A< \frac{x+z+x+y+y+z}{x+y+z}\Rightarrow A< \frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}\Rightarrow A< 2\)
Mà A < 1 => 1 < A < 2 ; 1 và 2 là hai số nguyên liên tiếp
=> A không có giá trị nguyên
Vậy ...
S
12 tháng 6 2017
Ta có: \(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\)
\(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z}\)
\(\frac{z}{z+x}>\frac{z}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow A>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)(1)
Lại có: \(\frac{x}{x+y}< \frac{x+y}{x+y+z}\)
\(\frac{y}{y+z}< \frac{y+z}{x+y+z}\)
\(\frac{z}{z+x}< \frac{z+x}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow A< \frac{x+y}{x+y+z}+\frac{y+z}{x+y+z}+\frac{z+x}{x+y+z}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra 1 < A < 2
Vậy A không phải là số nguyên
15 tháng 9 2016
Vì x,y,z là các số dương nên : \(\frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}\) ; \(\frac{y}{y+z}< \frac{y+x}{x+y+z}\) ; \(\frac{z}{z+x}< \frac{z+y}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow A< \frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\) (1)
Mặt khác ta lại có : \(x+y< x+y+z\Rightarrow\)\(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\)
Tương tự : \(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z};\frac{z}{z+x}>\frac{z}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow A>\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : \(1< A< 2\) => A không có giá trị nguyên
15 tháng 9 2016
\(A=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}\)
\(A>\frac{x+y+z}{x+y+z}\)
\(A>1\left(1\right)\)
Áp dụng \(\frac{a}{b}< 1\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\) (a,b,m \(\in\) N*) ta có:
\(A=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}< \frac{x+z}{x+y+z}+\frac{x+y}{x+y+z}+\frac{z+y}{x+y+z}\)
\(A< \frac{2.\left(x+y+z\right)}{x+y+z}\)
\(A< 2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => 1 < A < 2
=> A không là số nguyên (đpcm)
23 tháng 2 2015
A = \(\frac{x+y-y}{x+y}+\frac{y+z-z}{y+z}+\frac{z+x-x}{x+z}\)
A=3 \(-\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}\right)\)
mà \(\frac{x}{x+z}>\frac{x}{x+y+z};\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z};\frac{z}{x+z}>\frac{z}{x+y+z}\)
=> A <2 (1)
mặt khác A=\(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}\)
mà \(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z};\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z};\frac{z}{x+z}>\frac{z}{x+y+z}\)
=> A >1 (2)
từ (1) và (2) => 1<A<2 => A ko phải là số nguyên
* Bạn ơi cho mình hỏi biểu thức (+;-;x;:) vậy bạn ?
Ta có x/x+y lớn hơn x/x+y+z
y/y+z lớn hơn y/x+y+z
z/z+x lớn hơn z/x+y+z
suy ra a lớn hơn x/x+y+z + y/x+y+z + z/x+y+z=1
suy ra A lớn hơn
Lại có
x/x+y bé hơn x+z/x+y+z
y/y+z bé hơn y+x/x+y+z
z/z+x bé hơn z+y/x+y+z
suy ra A bé hơn x+z/x+y+z + y+z/x+y+z + z+x/x+y+z=2[x+y+z]/x+y+z=2
suy ra A bé hơn 2
suy ra 1 bé hơn A,A lại bé hơn 2
suy ra A ko có giá trị nguyên