K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

23 tháng 6 2019

A B C I K D O S x

a) Ta có đuờng tròn (I) tiếp xúc với AC tại A, theo tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây thì ^DAC = ^DBA

Tuơng tự ^DAB = ^DCA. Do đó ^BDC = ^DAB + ^DAC + ^DBA + ^DCA = 2(^DAB + ^DAC) = 2.^BAC = ^BOC

Suy ra 4 điểm B,D,O,C cùng thuộc một đuờng tròn theo quỹ tích cung chứa góc (đpcm).

b) Gọi đuờng thẳng AD cắt đường tròn đi qua 4 điểm B,O,D,C tại S khác D. Ta sẽ chỉ ra S cố định.

Thật vậy, gọi Dx là tia đối của tia DB. Ta có ^ODC = ^OBC = ^OCB = ^ODx => DO là phân giác ^CDx

Ta thấy hai đuờng tròn (O) và (I) cắt nhau tại A và B nên OI vuông góc AB

Mà AK vuông góc với AB (vì (K) tiếp xúc AB tại A) nên OI // AK. Tuơng tự OK // AI

Từ đây tứ giác AIOK là hình bình hành => IK chia đôi OA. Cũng dễ thấy IK là trung trực của AD

Theo đó IK chứa đuờng trung bình của \(\Delta\)AOD => IK // OD. Mà IK vuông góc AD nên OD vuông góc AD

Kết hợp với OD là phân giác của ^CDx => AD là phân giác của ^BDC (do ^CDx và ^BDC bù nhau)

Hay DS là phân giác của ^BDC. Lại có ^BDC là góc nội tiếp đuờng tròn đi qua B,D,O,C

=> S là điểm chính giữa (BC không chứa O của đuờng tròn (BOC)

Vì B,O,C cố định nên điểm chính giữa (BC không chứa O của (BOC) cố định => S cố định

Vậy AD luôn đi qua S cố định (đpcm).

1) Xét tứ giác MNOP có 

\(\widehat{ONM}\) và \(\widehat{OPM}\) là hai góc đối

\(\widehat{ONM}+\widehat{OPM}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: MNOP là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNOP là trung điểm của OM

hay O' là trung điểm của OM