Cho a và b là các số lẻ. Chứng minh a2+b2 không thể là số chính phương
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Để \(\frac{2a+2b}{ab+1}\) là bình phương của 1 số nguyên thì 2a + 2b chia hết cho ab + 1; mà ab + 1 chia hết cho 2a + 2b => ab + 1 = 2b + 2a
=> \(\frac{2a+2b}{ab+1}\)=1 = 12
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1.Vì số chính phương bằng bình phương của một số tự nhiên nên có thể thấy ngay số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9
2.
Một số chính phương được gọi là số chính phương chẵn nếu nó là bình phương của một số chẵn, là số chính phương lẻ nếu nó là bình phương của một số lẻ. (Nói một cách khác, bình phương của một số chẵn là một số chẵn, bình phương của một số lẻ là một số lẻ)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: x + y = ( a 1 2 + b 1 ) + ( a 2 2 + b 2 ) = ( a 1 + a 2 ) 2 + ( b 1 + b 2 )
Vì a 1 , a 2 , b 1 , b 2 là các số hữu tỉ nên a 1 + a 2 , b 1 + b 2 cũng là số hữu tỉ.
Lại có: xy = ( a 1 2 + b 1 )( a 2 2 + b 2 ) = 2 a 1 a 2 + a 1 b 2 2 + a 2 b 1 2 + b 1 b 2
= ( a 1 b 2 + a 2 b 1 ) 2 + (2 a 1 a 2 + b 1 b 2 )
Vì a 1 , a 2 , b 1 , b 2 là các số hữu tỉ nên a 1 b 2 + a 2 b 1 , a 1 a 2 + b 1 b 2 cũng là các số hữu tỉ.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi 2 số lẻ liên tiếp là 2k−1 và 2k+1, với k là số tự nhiên.
Tổng các bình phương của hai số lẻ liên tiếp là: (2k−1)2+(2k+1)2=4k2−4k+1+4k2−4k+1=8k2+2
Tổng trên chia cho 4 dư 2; Vậy nó không thể là số chính phương (Số chính phương hoặc chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Vì a,b là các số chẵn nên a,b viết được dưới dạng là a=2m và b=2n(Với m,n∈Z)
Ta có: \(a^2+b^2\)
\(=\left(2m\right)^2+\left(2n\right)^2\)
\(=4m^2+4n^2\)
\(=4\left(m^2+n^2\right)\)
\(=2\left(2m^2+2n^2\right)\)
\(=\left(m^2+n^2+1-m^2-n^2+1\right)\cdot\left(m^2+n^2+1+m^2+n^2-1\right)\)
\(=\left(m^2+n^2+1\right)^2-\left(m^2+n^2-1\right)^2\)
là bình phương của hai số nguyên(đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Ta thấy:
$(ab+cd)(ac+bd)=ad(c^2+b^2)+bc(a^2+d^2)$
$=(ad+bc)t$
Mà:
$2(t-ab-cd)=(a-b)^2+(c-d)^2>0$ nên $t> ab+cd$
Tương tự: $t> ac+bd$
Kết hợp $(ab+cd)(ac+bd)=(ad+bc)t$ nên:
$ab+cd> ad+bc, ac+bd> ad+bc$
Nếu $ab+cd, ac+bd$ đều thuộc $P$. Do $ad+bc$ là ước của $ab+cd$ hoặc $ac+bd$. Điều này vô lý
Do đó ta có đpcm.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét tổng
Suy ra có ít nhất một trong 7 số |
là số chẵn