Question

[Phạm Ngọc Anh Thư]

Cho :\(a+b+c=a^2+b^2+c^2=1\)Và \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\) Với (a,b,c#0)

Chứng minh rằng: \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)

Answer 1

[❑T͙ɦáⓃⓗᵛᶰシ⒝ựɑᵛᶰシ2020ᵛᶰシ◎]

Ta có: a+b+c=1 <=>(a+b+c)2 = 1 <=> ab+bc+ca=0 (1) 
Theo  dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
xa=yb=zc=x+y+za+b+c=x+y+z1=x+y+z
<=> x = a(x+y+z) ; y = b(x+y+z) ; z = c(x+y+z) 
=> xy+yz+zx=  ab(x+y+z)2+bc(x+y+z)2+ca(x + y + z)2
<=> xy+yz+zx =(ab+bc+ca)(x+y+z)2 (2) 
từ (1) và (2) => xy + yz + zx = 0

Answer 2

[❑T͙ɦáⓃⓗᵛᶰシ⒝ựɑᵛᶰシ2020ᵛᶰシ◎]

Mình nhâm sorry

Từ x : y : z = a : b : c

=> xa=yb=zcxa=yb=zc

=> ax=by=czax=by=cz

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:

ax=by=cz=a+b+cx+y+z=1x+y+zax=by=cz=a+b+cx+y+z=1x+y+z (Vì a + b + c = 1) (*1)

Ta có : ax=by=czax=by=cz

=> (ax)2=(by)2=(cy)2(ax)2=(by)2=(cy)2= a2x2=b2y2=c2z2a2x2=b2y2=c2z2

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:

a2x2=b2y2=c2z2=a2+b2+c2x2+y2+z2=1x2+y2+z2a2x2=b2y2=c2z2=a2+b2+c2x2+y2+z2=1x2+y2+z2 (*2)

Từ (1),(2) => (1x+y+z)2=1x2+y2+z2(1x+y+z)2=1x2+y2+z2

=> 12(x+y+z)2=1x2+y2+z212(x+y+z)2=1x2+y2+z2

=> 1(x+y+z)2=1x2+y2+z21(x+y+z)2=1x2+y2+z2

=> (x+y+z)2=x2+y2+z2(x+y+z)2=x2+y2+z2 (ĐPCM) (Vì hai phân số bằng nhau,tử số bằng nhau => mẫu số bằng nhau.)