Question

[Minh Anh]

Cho \(\Delta\) ABC cân ở A có \(\widehat{A}\) < \(90^0\). Vẽ BD \(\perp\)AC tại D, và CE \(\perp\)AB tại E. Gọi I là giao điểm của BD và CE.

1, Chứng minh rằng AD=AE

2, Chứng minh rằng AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

3, Chứng minh rằng DE // BC

4, Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng 3 điểm A, I, M thẳng hàng

Answer 1

[Vũ Minh Tuấn]

Hình bạn tự vẽ nha!

a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(gt\right)\)

=> \(AB=AC.\)

Xét 2 \(\Delta\) vuông \(ABD\) và \(ACE\) có:

\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^0\left(gt\right)\)

\(AB=AC\left(cmt\right)\)

\(\widehat{A}\) chung

=> \(\Delta ABD=\Delta ACE\) (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

=> \(AD=AE\) (2 cạnh tương ứng).

b) Theo câu a) ta có \(\Delta ABD=\Delta ACE.\)

=> \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) (2 góc tương ứng).

Hay \(\widehat{ABI}=\widehat{ACI}.\)

Xét 2 \(\Delta\) \(ABI\) và \(ACI\) có:

\(AB=AC\left(cmt\right)\)

\(\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\left(cmt\right)\)

Cạnh AI chung

=> \(\Delta ABI=\Delta ACI\left(c-g-c\right)\)

=> \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) (2 góc tương ứng).

=> \(AI\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\left(1\right).\)

Câu c) mình đang nghĩ nhưng câu d) thì mình làm được.

d) Xét 2 \(\Delta\) \(ABM\) và \(ACM\) có:

\(AB=AC\left(cmt\right)\)

\(BM=CM\) (vì M là trung điểm của \(BC\))

Cạnh AM chung

=> \(\Delta ABM=\Delta ACM\left(c-c-c\right)\)

=> \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (2 góc tương ứng).

=> \(AM\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\left(2\right).\)

Từ \(\left(1\right)và\left(2\right)\Rightarrow AI,AM\) đều là các tia phân giác của \(\widehat{BAC}.\)

=> 3 điểm \(A,I,M\) thẳng hàng (đpcm).

Chúc bạn học tốt!