Question

[Trần Bạch Vân]

1. Tìm hạng tử đứng giữa của khai triển (\(\frac{1}{\sqrt[5]{x}}\)+ \(\sqrt[3]{x}\))\(^{10}\)

2.Biết tổng các hệ số trong khai triển (1+ \(x^2\))\(^n\) là 1024. Tìm hệ số của \(x^{12}\)

3. Biết rằng hệ số của \(x^{n-2}\) trong khai triển (\(x-\frac{1}{4}\))\(^n\) bằng 31. Tìm n.

4. Tính tổng: S= C \(^0_n\)+ 2C\(^1_n\)+ 2\(^2\)C\(^2_n\)+....+ 2\(^n\)C\(^n_n\)

5. Chứng tỏ rằng: C\(^0_n\)+C\(^2_n\)+....+ C\(^{2k}_n\)+...= C\(^1_n\)+C\(^3_n\)+....+ C\(^{2k+1}_n\)...

6. Tìm số hạng chứa \(x^5\) trong khai triển:

(\(x^2-4x+1\))\(^5\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Bài 1:

\(\left(x^{-\frac{1}{5}}+x^{\frac{1}{3}}\right)^{10}=\sum\limits^{10}_{k=0}C_{10}^k\left(x^{-\frac{1}{5}}\right)^k\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{10-k}=\sum\limits^{10}_{k=0}C_{10}^kx^{\frac{10}{3}-\frac{8k}{15}}\)

Trong khai triển trên có 11 số hạng nên số hạng đứng giữa có \(k=6\)

\(\Rightarrow\) Số hạng đó là \(C_{10}^6x^{\frac{10}{3}-\frac{48}{15}}=C_{10}^6x^{\frac{2}{15}}\)

Bài 2:

\(\left(1+x^2\right)^n=a_0+a_1x^2+a_2x^4+...+a_nx^{2n}\)

Cho \(x=1\Rightarrow2^n=a_0+a_1+...+a_n=1024=2^{10}\)

\(\Rightarrow n=10\)

\(\left(1+x^2\right)^{10}=\sum\limits^{10}_{k=0}C_{10}^kx^{2k}\)

Số hạng chứa \(x^{12}\Rightarrow2k=12\Rightarrow k=6\) có hệ số là \(C_{10}^6\)

Bài 3:

\(\left(x-\frac{1}{4}\right)^n=\sum\limits^n_{k=0}C_n^kx^k\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-k}\)

Với \(k=n-2\Rightarrow\) hệ số là \(C_n^{n-2}\left(-\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{16}C_n^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{16}C_n^2=31\Rightarrow C_n^2=496\Rightarrow n=32\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Bài 4:

Xét khai triển:

\(\left(1+x\right)^n=C_n^0+xC_n^1+x^2C_n^2+...+x^nC_n^n\)

Cho \(x=2\) ta được:

\(\left(1+2\right)^n=C_n^0+2C_n^1+2^2C_n^2+...+2^nC_n^n\)

\(\Rightarrow S=3^n\)

Bài 5:

Xét khai triển:

\(\left(1+x\right)^n=C_n^0+xC_n^1+x^2C_n^2+...+x^{2k}C_n^{2k}+x^{2k+1}C_n^{2k+1}+...\)

Cho \(x=-1\) ta được:

\(0=C_n^0-C_n^1+C_n^2-C_n^3+...+C_n^{2k}-C_n^{2k+1}+...\)

\(\Rightarrow C_n^0+C_n^2+...+C_n^{2k}+...=C_n^1+C_n^3+...+C_n^{2k+1}+...\)

Bài 6:

\(\left(1-4x+x^2\right)^5=\sum\limits^5_{k=0}C_5^k\left(-4x+x^2\right)^k=\sum\limits^5_{k=0}\sum\limits^k_{i=0}C_5^kC_k^i\left(-4\right)^ix^{2k-i}\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2k-i=5\\0\le i\le k\le5\\i;k\in N\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(i;k\right)=\left(1;3\right);\left(3;4\right);\left(5;5\right)\)

Hệ số: \(\left(-4\right)^1.C_5^3C_3^1+\left(-4\right)^3C_5^4.C_4^3+\left(-4\right)^5C_5^5.C_5^5\)