Question

[Phạm Thị Phương Thảo]

1) Tìm GTNN của

a)A = \(x^2+y^2-xy-3y+2016\)

b) B = \(2x^2+5y^2+4xy-6+5x-9\)

c)C = \(x^2+xy+y^2-3x-3y+2018\)

2) Tìm GTLN của :

a)A = \(5-x^2+2x-4y^2-4y\)

b) B= \(2-2x^2-10y^2+6xy+4x-3y\)

( mình đang cần gấp . tick trả đầy đủ )

Answer 1

[Akai Haruma]

Bài 1:

a)

\(A=x^2+y^2-xy-3y+2016=(x^2-xy+\frac{y^2}{4})+(\frac{3y^2}{4}-3y+3)+2013\)

\(=(x-\frac{y}{2})^2+3(\frac{y}{2}-1)^2+2013\)

\(\geq 2013\)

Vậy GTNN của $A$ là $2013$. Giá trị này đạt được khi \(\left\{\begin{matrix} x-\frac{y}{2}=0\\ \frac{y}{2}-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=2\\ x=1\end{matrix}\right.\)

b)

\(B=2x^2+5y^2+4xy-6+5x-9\)

\(=5(y^2+\frac{4}{5}xy+\frac{4}{25}x^2)+\frac{6}{5}x^2+5x-15\)

\(=5(y+\frac{2}{5}x)^2+\frac{6}{5}(x^2+\frac{25}{6}x+\frac{25^2}{12^2})-\frac{485}{24}\)

\(=5(y+\frac{2}{5}x)^2+\frac{6}{5}(x+\frac{25}{12})^2-\frac{485}{24}\geq \frac{-485}{24}\)

Vậy GTNN của $B$ là $\frac{-485}{24}$

Giá trị này đạt được khi \(\left\{\begin{matrix} y+\frac{2}{5}x=0\\ x+\frac{25}{12}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-\frac{25}{12}\\ y=\frac{5}{6}\end{matrix}\right.\)

c)

\(C=x^2+xy+y^2-3x-3y+2018\)

\(=\frac{4x^2+4xy+4y^2-12x-12y+8072}{4}=\frac{(4x^2+4xy+y^2)+3y^2-12x-12y+8072}{4}\)

\(=\frac{(2x+y)^2-6(2x+y)+3y^2-6y+8072}{4}\)

\(=\frac{(2x+y)^2-6(2x+y)+9+3(y^2-2y+1)+8060}{4}=\frac{(2x+y-3)^2+3(y-1)^2+8060}{4}\)

\(\geq \frac{8060}{4}=2015\)

Vậy $C_{\min}=2015$. Giá trị đạt được khi \(\left\{\begin{matrix} 2x+y-3=0\\ y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=1\)

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 2:

a)
\(-A=x^2+4y^2-2x+4y-5=(x^2-2x+1)+(4y^2+4y+1)-7\)

\(=(x-1)^2+(2y+1)^2-7\geq -7\)

\(\Rightarrow A\leq 7\)

Vậy GTLN của $A$ là $7$.

Giá trị này đạt được khi \(\left\{\begin{matrix} x-1=0\\ 2y+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=\frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)

b)

ĐKĐB \(\Leftrightarrow B+2x^2+10y^2-6xy-4x+3y-2=0\)

\(\Leftrightarrow 2x^2-2x(3y+2)+(10y^2+3y-2+B)=0\)

Coi đây là PT bậc 2 ẩn $x$. Vì dấu "=" tồn tại nên PT luôn có nghiệm

\(\Rightarrow \Delta'=(3y+2)^2-2(10y^2+3y-2+B)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow B\leq \frac{-11y^2+6y+8}{2}=\frac{\frac{97}{11}-11(y-\frac{3}{11})^2}{2}\leq \frac{97}{22}\)

Vậy $B_{\max}=\frac{97}{22}$