Cho a,b,c >1 Chứng minh rằng \(\frac{a}{\sqrt{b}-1}\)+ \(\frac{b}{\sqrt{c}-1}\)+ \(\frac{c}{\sqrt{a}-1}\)> 12
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
Y
19 tháng 5 2019
Theo BĐT AM-GM :
\(\sqrt{b}=\sqrt{b\cdot1}\le\frac{b+1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{b}}\ge\frac{a}{\frac{b+1}{2}}=\frac{2a}{b+1}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=1\)
+ Tương tự ta cm đc :
\(\frac{b}{\sqrt{c}}\ge\frac{2b}{c+1}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow c=1\)
\(\frac{c}{\sqrt{a}}\ge\frac{2c}{a+1}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)
Do đó : \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\ge2\left(\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+}+\frac{c}{a+1}\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
T
20 tháng 3 2020
Sửa đề: \(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}\ge\sqrt{2}\left(\Sigma\sqrt{\frac{1-a}{a}}\right)\)
or \(\Sigma\frac{b+c}{a}\ge\Sigma\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}\)
Theo AM-GM:\(\frac{b+c}{a}\ge2\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}-2\)
Tương tự và cộng lại: \(VT\ge2\Sigma\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}-6\)
Mà: \(\Sigma\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}\ge3\sqrt[6]{\frac{8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}}\ge6\)
Từ đó: \(VT\ge2\Sigma\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}-\Sigma\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}=VP\)
Done!
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 12 2020
\(VT=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}\)
\(VT< \dfrac{a+c}{a+b+c}+\dfrac{b+a}{a+b+c}+\dfrac{c+b}{a+b+c}=2\)
\(VP=\dfrac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{b\left(c+a\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}\)
\(VP\ge\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=2\)
\(\Rightarrow VP>VT\) (đpcm)
10 tháng 1 2017
\(\frac{a}{\sqrt{b}-1}+\frac{b}{\sqrt{c}-1}+\frac{c}{\sqrt{c}-1}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-3}=\frac{t^2}{t-3}=12.,\)
\(t^2-12t+36=0\Leftrightarrow t=6;.\)
=>a =b =c = 4
21 tháng 10 2019
Ta có:
\(\frac{2}{\sqrt{a}}+\frac{2}{\sqrt{b}}+\frac{2}{\sqrt{c}}=\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{\left(1+1\right)^2}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\left(1+1\right)^2}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\)
\(=\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{4}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{4}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\)
=> \(2\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\)\(\ge4\left(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\right)\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\)\(\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\right)\)
"=" xảy ra <=> a =b =c.
21 tháng 2 2018
ta có \(\sqrt{\frac{a}{1-a}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(1-a\right)}}\)
áp dụng cô si
\(\sqrt{a\left(1-a\right)}< =\frac{a+1-a}{2}=\frac{1}{2}\)
do do\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}>=2a\)\(\sqrt{\frac{b}{1-b}}>=2b,\sqrt{\frac{c}{1-c}}>=2c\)
cmtt\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>=2\left(a+b+c\right)=2\left(doa+b+c=1\right)\)
dau = xay ra <=>\(\hept{\begin{cases}a=1-a\\b=1-b\\c=1-c\end{cases}=>a+b+c=3-\left(a+b+c\right)}\)
<=>2(a+b+c)=3
<=>a+b+c=3/2
vay dau = khong xay ra ta co dpcm
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
15 tháng 5 2021
\(a,b,c\)theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên \(a-b=b-c\).
\(d\)là công sai của cấp số cộng.
Nếu \(d=0\)dễ dàng thấy đẳng thức cần chứng minh là đúng.
Nếu \(d\ne0\):
\(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}+\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{a-b}\)
\(=\frac{a-c}{\left(a-b\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}\)
19 tháng 5 2021
<br class="Apple-interchange-newline"><div></div>a,b,ctheo thứ tự lập thành cấp số cộng nên a−b=b−c.
dlà công sai của cấp số cộng.
Nếu d=0dễ dàng thấy đẳng thức cần chứng minh là đúng.
Nếu d≠0:
1√a+√b +1√b+√c =√a−√ba−b +√b−√cb−c =√a−√ca−b
=a−c(a−b)(√a+√c) =2√a+√c