Question

[Minh Nguyễn Cao]

Cho đường tròn tâm H tiếp xúc trong với đường tròn tâm O tại D thỏa mãn OD > HD. Lấy A thuộc (O) (A khác D) sao cho các tiếp tuyến AE,AF của (H) cắt (O) tại B,C thỏa mãn AB < AC. Gọi P là giao điểm thứ 2 của DF và (O). Phân giác góc BDC cắt EF tại Q

CMR: Tứ giác QFCD nội tiếp đường tròn và hệ thức \(QD^2=DB.DC\)

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

+) Theo tính chất hai tiếp tuyến giao nhau thì AE = AF

Có ^CDQ = ^BDC/2 = (180⁰ - ^BAC)/2 = ^AFE (Vì \(\Delta\)AEF cân tại A)

Suy ra tứ giác QFCD nội tiếp (đpcm).

+) Chứng minh tương tự ta có tứ giác DQEB nội tiếp

Do đó ^DCQ = ^DFQ = ^DEB = ^DQB. Kết hợp với ^QDC = ^BDQ

Suy ra \(\Delta\)DQC ~ \(\Delta\)DBQ (g.g). Vậy thì \(\frac{DQ}{DB}=\frac{DC}{DQ}\Rightarrow QD^2=DB.DC\)(đpcm).