Cho \(\Delta ABC\)vuông cân tại A. Vẽ đường thẳng a qua điểm A sao cho B và C thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ a. Vẽ BG, CK vuông góc với a( H,K \(\in\)a). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:a) AH = CK b) HK= BH + CK c) \(\Delta MHK\)vuông...
Đọc tiếp
Cho \(\Delta ABC\)vuông cân tại A. Vẽ đường thẳng a qua điểm A sao cho B và C thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ a. Vẽ BG, CK vuông góc với a( H,K \(\in\)a). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
a) AH = CK b) HK= BH + CK c) \(\Delta MHK\)vuông cân
a) Xét hai tam giác vuông \(\Delta AHB\)và \(\Delta CKA,\)ta có:
AB = AC, giả thiết
\(\widehat{A}_1=180^o-\widehat{BAC}-\widehat{A}_2=180^o-90^o-\left(90^o-\widehat{C_1}\right)=\widehat{C_1}\)
Suy ra:
\(\Delta AHB=\Delta CKA\)(cạnh huyền và góc nhọn)
\(\Rightarrow\widehat{HBA}=\widehat{A}_2,BH=AK\)và \(AH=CK,đpcm\)
b) Ta có:
\(HK=AK+AH=BH+CK,đpcm\)
c) Xét hai tam giác \(\Delta MHB\)và\(\Delta MKA\), ta có:
BH = AK theo kết quả a)
\(\widehat{HBM}=\widehat{HBA}+\widehat{ABM}=\widehat{A_2}+45^o=\widehat{KAM}\)
\(MB=\frac{1}{2}BC=MA,\)trung tuyến thuộc cạnh huyền
Suy ra:
\(\Delta MHB=\Delta MKA\left(c.g.c\right)\)
Từ đó ta có:
\(MH=MK\Rightarrow\Delta MHK\)cân.
\(\widehat{BHM}=\widehat{AMK}\Rightarrow\widehat{HMK}=\widehat{HMA}+\widehat{AMK}=\widehat{HMA}+\widehat{BMH}=\widehat{BMA}=90^o\)
Vậy, \(\Delta MHK\)vuông cân.