Tìm GTNN của \(A=a^3+b^3+c^3\) biết rằng a,b,c\(\ge\) -1 và a + b + c = 0
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1) Tìm GTNN :
Ta có : \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+1}=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
2) Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3+a+b+c}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
2/ Áp dụng bđt Cô- si cho 2 số dương ta có :
\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{1+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{1+b}\frac{1+b}{4}}=a\)
Tương tự ta có \(\frac{b^2}{1+c}+\frac{1+c}{4}\ge b;\frac{c^2}{1+a}+\frac{1+a}{4}\ge c\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge a+b+c-\left(\frac{1+b}{4}+\frac{1+c}{4}+\frac{1+a}{4}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge3-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}=3-\frac{1}{4}.3-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(1=a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\).
\(P=\dfrac{a^3}{b+2c}+\dfrac{b^3}{c+2a}+\dfrac{c^3}{a+2b}=\dfrac{a^4}{ab+2ca}+\dfrac{b^4}{bc+2ab}+\dfrac{c^4}{ca+2bc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{1}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{1}{3}\)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta sẽ sử dụng đánh giá \(x^3+\frac{1}{x^3}\ge\frac{1}{\left(1+9^3\right)^2}\left(x+\frac{81}{x}\right)^3\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=\(\frac{1}{3}\)
Sử dụng đánh giá trên ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{a^3+\frac{1}{a^3}}\ge\frac{1}{\sqrt[3]{\left(1+9^3\right)^2}}\left(a+\frac{81}{a}\right)\\\sqrt[3]{b^3+\frac{1}{b^3}}\ge\frac{1}{\sqrt[3]{\left(1+9^3\right)^2}}\left(b+\frac{81}{b}\right)\\\sqrt[3]{c^3+\frac{1}{c^3}}\ge\frac{1}{\sqrt[3]{\left(1+9^3\right)^2}}\left(c+\frac{81}{c}\right)\end{cases}}\)
Cộng theo vế ta được \(P=\sqrt[3]{a^3+\frac{1}{a^3}}+\sqrt[3]{b^3+\frac{1}{b^3}}+\sqrt[3]{c^3+\frac{1}{c^3}}\ge\frac{1}{\sqrt[3]{\left(1+9^3\right)^2}}\left(a+b+c+\frac{81}{a}+\frac{81}{b}+\frac{81}{c}\right)\)
Ta lại có: \(a+b+c+\frac{81}{a}+\frac{81}{b}+\frac{81}{c}\ge a+b+c+\frac{729}{a+b+c}=a+b+c+\frac{1}{a+b+c}+\frac{729}{a+b+c}\)
\(\ge2+728=730\)
=> \(P\ge\frac{730}{\sqrt[3]{\left(1+9^3\right)^2}}=\sqrt[3]{730}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Hey Hải Nhật, mk có bảo bạn giải đâu ạ? Lời giải này thì mk biết lâu r, (chép trong tài liệu), nhưng mình hỏi cách tìm bđt phụ kia cơ mà
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz dưới dạng Engel ta có :
\(a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right]^2}{3}=\frac{\left(\frac{9}{3}\right)^2}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Câu 2-Ta có x^2+y^2=5
(x+y)^2-2xy=5
Đặt x+y=S. xy=P
S^2-2P=5
P=(S^2-5)/2
Ta lại có P=x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=S^3-3SP=S^3-3S(S^2-5)/2
Rùi tự tính
Câu1
Ta có P<=a+a/4+b+a/12+b/3+4c/3 (theo bdt cô sy)
=> P<=4/3(a+b+c)=4/3
Vậy Max p =4/3 khi a=4b=16c
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a)Từ \(a+b+c\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3ab+3bc+3ca\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) *đúng*
Khi \(a=b=c\)
b)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự rồi cộng theo vế :
\(M\ge3-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Khi \(a=b=c=1\)
Ta có : \(a^3+1=\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)=\left(a+1\right)\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}\left(a+1\right)\)
do đó : \(a^3-\frac{3}{4}a+\frac{1}{4}=\left(a+1\right)\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)với \(a\ge-1\)
Tương tự : \(b^3-\frac{3}{4}b+\frac{1}{4}\ge0,c^3-\frac{3}{4}c+\frac{1}{4}\ge0\)với \(b,c\ge-1\)
\(a^3+b^3+c^3-\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)+\frac{3}{4}\ge0\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge-\frac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=-1\text{ hoặc }a=\frac{1}{2}\\.....\\a+b+c=0\end{cases}}\)
Vậy GTNN của A là \(\frac{-3}{4}\)\(\Leftrightarrow\) a,b,c có 2 số bằng \(\frac{1}{2}\)và 1 số bằng -1