Cho đồ thị hàm số \(y=\left(m-4\right)x+m+4\)
Chứng minh khoảng cách từ điểm \(O\left(0;0\right)\) đến \(\left(d\right)\) không lớn hơn \(\sqrt{65}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
$y'=3x^2-6mx+3(m^2-1)=0$
$\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-1=0$
$\Leftrightarrow x=m+1$ hoặc $x=m-1$
Với $x=m+1$ thì $y=-2m-2$. Ta có điểm cực trị $(m+1, -2m-2)$
Với $x=m-1$ thì $y=2-2m$. Ta có điểm cực trị $m-1, 2-2m$
$f''(m+1)=6>0$ nên $A(m+1, -2m-2)$ là điểm cực tiểu
$f''(m-1)=-6< 0$ nên $B(m-1,2-2m)$ là điểm cực đại
$BO=\sqrt{2}AO$
$\Leftrightarrow BO^2=2AO^2$
$\Leftrightarrow (m-1)^2+(2-2m)^2=2(m+1)^2+2(-2m-2)^2$
$\Leftrightarrow m=-3\pm 2\sqrt{2}$
Ta có : \(y'=3x^2-6mx+3\left(m^2-1\right)\)
Để hàm số có cực trị thì phương trình \(y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-1=0\) có 2 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow\Delta=1>0\) với mọi m
Cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực tiểu của đồ thị hàm số là B (m+1; -2-2m)
Theo giả thiết ta có :
\(OA=\sqrt{2}OB\Leftrightarrow m^2+6m+1\Leftrightarrow\begin{cases}m=-3+2\sqrt{2}\\m=-3-2\sqrt{2}\end{cases}\)
Vậy có 2 giá trị m là \(\begin{cases}m=-3+2\sqrt{2}\\m=-3-2\sqrt{2}\end{cases}\)
PT giao Ox: \(y=0\Leftrightarrow\left(m-1\right)x=-3m\Leftrightarrow x=\dfrac{3m}{1-m}\Leftrightarrow A\left(\dfrac{3m}{1-m};0\right)\Leftrightarrow OA=\left|\dfrac{3m}{1-m}\right|\)
PT giao Oy: \(x=0\Leftrightarrow y=3m\Leftrightarrow B\left(0;3m\right)\Leftrightarrow OB=\left|3m\right|\)
Gọi H là hình chiếu O lên đths
K/c từ O đến đths đạt max khi OH đạt max
Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{\left(1-m\right)^2}{9m^2}+\dfrac{1}{9m^2}=\dfrac{m^2-2m+2}{9m^2}\)
Đặt \(\dfrac{1}{OH^2}=t\Leftrightarrow9m^2t=m^2-2m+2\)
\(\Leftrightarrow m^2\left(9t-1\right)+2m-2=0\)
Coi đây là PT bậc 2 ẩn m, PT có nghiệm khi:
\(\Delta=4-4\left(-2\right)\left(9t-1\right)\ge0\\ \Leftrightarrow4+72t-9\ge0\\ \Leftrightarrow t\ge\dfrac{5}{72}\Leftrightarrow\dfrac{1}{OH^2}\ge\dfrac{5}{72}\\ \Leftrightarrow OH^2\le\dfrac{72}{5}\Leftrightarrow OH\le\dfrac{6\sqrt{10}}{5}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\) PT có nghiệm kép
\(\Leftrightarrow m=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2}{18t-2}=-\dfrac{2}{18\cdot\dfrac{5}{72}-2}=\dfrac{8}{3}\)
cho em hỏi cái đoạn coi đây là PT bâc 2 ẩn m , cái hình tam giác là gì vậy ạ với lại 4 -4(-2) là ở đâu vậy ạ
\(y'=4x^3-4mx\Rightarrow y'\left(1\right)=4-4m\)
\(A\left(1;1-m\right)\)
Phương trình tiếp tuyến d tại A có dạng:
\(y=\left(4-4m\right)\left(x-1\right)+1-m\)
\(\Leftrightarrow\left(4-4m\right)x-y+3m-3=0\)
\(d\left(B;d\right)=\dfrac{\left|\dfrac{3}{4}\left(4-4m\right)-1+3m-3\right|}{\sqrt{\left(4-4m\right)^2+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{\left(4-4m\right)^2+1}}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(4-4m=0\Rightarrow m=1\)
y′=4x3−4mx⇒y′(1)=4−4my′=4x3−4mx⇒y′(1)=4−4m
A(1;1−m)A(1;1−m)
Phương trình tiếp tuyến d tại A có dạng:
y=(4−4m)(x−1)+1−my=(4−4m)(x−1)+1−m
⇔(4−4m)x−y+3m−3=0⇔(4−4m)x−y+3m−3=0
d(B;d)=∣∣∣34(4−4m)−1+3m−3∣∣∣√(4−4m)2+1=1√(4−4m)2+1≤1d(B;d)=|34(4−4m)−1+3m−3|(4−4m)2+1=1(4−4m)2+1≤1
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 4−4m=0⇒m=1
1. Đồ thị của hàm số đi qua điểm \(M\left(2;3\right)\) nên giá trị hoành độ và tung độ của \(M\) là nghiệm của phương trình đường thẳng trên, tức:
\(3=m\cdot2+m-6\Leftrightarrow m=3\left(TM\right)\)
2. Đồ thị hàm số song song với đường thẳng \(\left(d\right):y=3x+2\), khi: \(\left\{{}\begin{matrix}m=3\\m-6\ne2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=3\\m\ne8\end{matrix}\right.\Rightarrow m=3\left(TM\right)\)
3. Gọi \(P\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua với mọi giá trị \(m\).
Khi đó: \(mx_0+m-6=y_0\Leftrightarrow\left(x_0+1\right)m-\left(y_0+6\right)=0\left(I\right)\)
Suy ra, phương trình \(\left(I\right)\) có vô số nghiệm, điều này xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}x_0+1=0\\y_0+6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-1\\y_0=-6\end{matrix}\right.\).
Vậy: Điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị \(m\) là \(P\left(-1;-6\right)\).
Vì hai đồ thị cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên n=-4
=>m=-2
Trước tiên ta phải xét đồ thị hàm số gọi là d luôn đi qua một điểm cố định gọi là K
Có y=(m-4)x+m+4
<=> y=mx-4x +m+4 <=>y=m(x+1)-4x+4
Khi x=-1 thì y=8 => d luôn đi qua một điểm cố định K(-1;8)
Gọi A,B là giao điểm của d với trục Ox,Oy
Ta có OA=|m+4/4-m| (1) và OB=|m+4| (2)
Vẽ OH vuông góc AB và OH là khoảng cách từ OH đến d
Ta có 1/OH2 =1/OA2 +1/OB2 (3)
Tìm được đồ thị hàm số của OK là y=-8x
Ta có
OK
Vậy OH đạt trị lớn nhất khi OK=OH => K
H hay OK vuông góc với d
Vì đường thẳng OK vuông góc với đường thẳng d nên:
a.a’=-1 <=>-8.(m -4)=-1 <=>m=33/8 (4)
từ (1,2,3,4) =>>>>>>>1/OH2 =1/65 <=>OH=căn 65![](file:///C:\Users\PC\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image006.png)
Vậy ………..