Cho đồ thị hàm số \(y=\left(m-4\right)x+m+4\)
Chứng minh khoảng cách từ điểm \(O\left(0;0\right)\) đến \(\left(d\right)\) không lớn hơn \(\sqrt{65}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 7 2021
Lời giải:
$y'=3x^2-6mx+3(m^2-1)=0$
$\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-1=0$
$\Leftrightarrow x=m+1$ hoặc $x=m-1$
Với $x=m+1$ thì $y=-2m-2$. Ta có điểm cực trị $(m+1, -2m-2)$
Với $x=m-1$ thì $y=2-2m$. Ta có điểm cực trị $m-1, 2-2m$
$f''(m+1)=6>0$ nên $A(m+1, -2m-2)$ là điểm cực tiểu
$f''(m-1)=-6< 0$ nên $B(m-1,2-2m)$ là điểm cực đại
$BO=\sqrt{2}AO$
$\Leftrightarrow BO^2=2AO^2$
$\Leftrightarrow (m-1)^2+(2-2m)^2=2(m+1)^2+2(-2m-2)^2$
$\Leftrightarrow m=-3\pm 2\sqrt{2}$
TH
26 tháng 3 2016
Ta có : \(y'=3x^2-6mx+3\left(m^2-1\right)\)
Để hàm số có cực trị thì phương trình \(y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-1=0\) có 2 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow\Delta=1>0\) với mọi m
Cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực tiểu của đồ thị hàm số là B (m+1; -2-2m)
Theo giả thiết ta có :
\(OA=\sqrt{2}OB\Leftrightarrow m^2+6m+1\Leftrightarrow\begin{cases}m=-3+2\sqrt{2}\\m=-3-2\sqrt{2}\end{cases}\)
Vậy có 2 giá trị m là \(\begin{cases}m=-3+2\sqrt{2}\\m=-3-2\sqrt{2}\end{cases}\)
NT
1
17 tháng 11 2021
PT giao Ox: \(y=0\Leftrightarrow\left(m-1\right)x=-3m\Leftrightarrow x=\dfrac{3m}{1-m}\Leftrightarrow A\left(\dfrac{3m}{1-m};0\right)\Leftrightarrow OA=\left|\dfrac{3m}{1-m}\right|\)
PT giao Oy: \(x=0\Leftrightarrow y=3m\Leftrightarrow B\left(0;3m\right)\Leftrightarrow OB=\left|3m\right|\)
Gọi H là hình chiếu O lên đths
K/c từ O đến đths đạt max khi OH đạt max
Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{\left(1-m\right)^2}{9m^2}+\dfrac{1}{9m^2}=\dfrac{m^2-2m+2}{9m^2}\)
Đặt \(\dfrac{1}{OH^2}=t\Leftrightarrow9m^2t=m^2-2m+2\)
\(\Leftrightarrow m^2\left(9t-1\right)+2m-2=0\)
Coi đây là PT bậc 2 ẩn m, PT có nghiệm khi:
\(\Delta=4-4\left(-2\right)\left(9t-1\right)\ge0\\ \Leftrightarrow4+72t-9\ge0\\ \Leftrightarrow t\ge\dfrac{5}{72}\Leftrightarrow\dfrac{1}{OH^2}\ge\dfrac{5}{72}\\ \Leftrightarrow OH^2\le\dfrac{72}{5}\Leftrightarrow OH\le\dfrac{6\sqrt{10}}{5}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\) PT có nghiệm kép
\(\Leftrightarrow m=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2}{18t-2}=-\dfrac{2}{18\cdot\dfrac{5}{72}-2}=\dfrac{8}{3}\)
19 tháng 11 2021
cho em hỏi cái đoạn coi đây là PT bâc 2 ẩn m , cái hình tam giác là gì vậy ạ với lại 4 -4(-2) là ở đâu vậy ạ
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 4 2022
\(y'=4x^3-4mx\Rightarrow y'\left(1\right)=4-4m\)
\(A\left(1;1-m\right)\)
Phương trình tiếp tuyến d tại A có dạng:
\(y=\left(4-4m\right)\left(x-1\right)+1-m\)
\(\Leftrightarrow\left(4-4m\right)x-y+3m-3=0\)
\(d\left(B;d\right)=\dfrac{\left|\dfrac{3}{4}\left(4-4m\right)-1+3m-3\right|}{\sqrt{\left(4-4m\right)^2+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{\left(4-4m\right)^2+1}}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(4-4m=0\Rightarrow m=1\)
29 tháng 5 2022
y′=4x3−4mx⇒y′(1)=4−4my′=4x3−4mx⇒y′(1)=4−4m
A(1;1−m)A(1;1−m)
Phương trình tiếp tuyến d tại A có dạng:
y=(4−4m)(x−1)+1−my=(4−4m)(x−1)+1−m
⇔(4−4m)x−y+3m−3=0⇔(4−4m)x−y+3m−3=0
d(B;d)=∣∣∣34(4−4m)−1+3m−3∣∣∣√(4−4m)2+1=1√(4−4m)2+1≤1d(B;d)=|34(4−4m)−1+3m−3|(4−4m)2+1=1(4−4m)2+1≤1
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 4−4m=0⇒m=1
TM
5 tháng 9 2023
1. Đồ thị của hàm số đi qua điểm \(M\left(2;3\right)\) nên giá trị hoành độ và tung độ của \(M\) là nghiệm của phương trình đường thẳng trên, tức:
\(3=m\cdot2+m-6\Leftrightarrow m=3\left(TM\right)\)
2. Đồ thị hàm số song song với đường thẳng \(\left(d\right):y=3x+2\), khi: \(\left\{{}\begin{matrix}m=3\\m-6\ne2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=3\\m\ne8\end{matrix}\right.\Rightarrow m=3\left(TM\right)\)
3. Gọi \(P\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua với mọi giá trị \(m\).
Khi đó: \(mx_0+m-6=y_0\Leftrightarrow\left(x_0+1\right)m-\left(y_0+6\right)=0\left(I\right)\)
Suy ra, phương trình \(\left(I\right)\) có vô số nghiệm, điều này xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}x_0+1=0\\y_0+6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-1\\y_0=-6\end{matrix}\right.\).
Vậy: Điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị \(m\) là \(P\left(-1;-6\right)\).
25 tháng 12 2021
Vì hai đồ thị cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên n=-4
=>m=-2
Trước tiên ta phải xét đồ thị hàm số gọi là d luôn đi qua một điểm cố định gọi là K
Có y=(m-4)x+m+4
<=> y=mx-4x +m+4 <=>y=m(x+1)-4x+4
Khi x=-1 thì y=8 => d luôn đi qua một điểm cố định K(-1;8)
Gọi A,B là giao điểm của d với trục Ox,Oy
Ta có OA=|m+4/4-m| (1) và OB=|m+4| (2)
Vẽ OH vuông góc AB và OH là khoảng cách từ OH đến d
Ta có 1/OH2 =1/OA2 +1/OB2 (3)
Tìm được đồ thị hàm số của OK là y=-8x
Ta có
OK
Vậy OH đạt trị lớn nhất khi OK=OH => K
H hay OK vuông góc với d
Vì đường thẳng OK vuông góc với đường thẳng d nên:
a.a’=-1 <=>-8.(m -4)=-1 <=>m=33/8 (4)
từ (1,2,3,4) =>>>>>>>1/OH2 =1/65 <=>OH=căn 65
Vậy ………..