Cho a>0, b>0 thỏa mãn \(a+b-\sqrt{ab}-4\sqrt{a}-\sqrt{b}+7=0\). Khi đó tổng a + b bằng...
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 6 2021
\(c\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow\dfrac{c}{a}.\dfrac{c}{b}\ge1\)
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\dfrac{\left(c+a\right)^2}{c^2+a^2}\ge\dfrac{\left(c+b\right)^2}{c^2+b^2}\Leftrightarrow\dfrac{\left(\dfrac{c}{a}+1\right)^2}{\left(\dfrac{c}{a}\right)^2+1}\ge\dfrac{\left(\dfrac{c}{b}+1\right)^2}{\left(\dfrac{c}{b}\right)^2+1}\)
Đặt \(\left(\dfrac{c}{a};\dfrac{c}{b}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy\ge1\\y>x\Rightarrow y-x>0\end{matrix}\right.\) (1)
BĐT cần c/m trở thành: \(\dfrac{\left(x+1\right)^2}{x^2+1}\ge\dfrac{\left(y+1\right)^2}{y^2+1}\Leftrightarrow\dfrac{x}{x^2+1}\ge\dfrac{y}{y^2+1}\)
\(\Leftrightarrow xy^2+x\ge x^2y+y\Leftrightarrow xy\left(y-x\right)-\left(y-x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(y-x\right)\ge0\) luôn đúng theo (1)
Vậy BĐT đã cho được c/m
Dấu "=" xảy ra khi \(xy=1\) hay \(c=\sqrt{ab}\)
TV
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 12 2020
\(\dfrac{4}{3}=a+2\sqrt{\dfrac{a}{4}.b}+\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{\dfrac{a}{2}.2b.8c}\)
\(\dfrac{4}{3}\le a+\dfrac{a}{4}+b+\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{a}{2}+2b+8c\right)=\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{16}{21};\dfrac{4}{21};\dfrac{1}{21}\right)\)
1 tháng 1 2021
Anh ơi cho em hỏi làm sao để tách/tìm điểm rơi như thế này ạ?
9 tháng 8 2020
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
TH
0
28 tháng 4 2019
Hmm , bài này trông quen quen , trong cuốn "các bài giảng về bđt Cô-si" của Phạm Văn Hùng ; Nguyễn Vũ Lương , Nguyễn Ngọc Thắng thì phải . Mình đọc rồi mà quên mất tiêu =( Để nghĩ lại coi nha
28 tháng 4 2019
Bạn ơi , mình không có quyển đó, bạn cố nhớ lại giúp mình với , huhu , thứ 6 là mình phải nộp rồi
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}=x>0\\\sqrt{b}=y>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2+y^2-xy-4x-y+7=0\)
\(\Leftrightarrow4x^2+4y^2-4xy-16x-4y+28=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-y-4\right)^2+3y^2-12y+12=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-y-4\right)^2+3\left(y-2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y-4=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b=3^2+2^2=13\)