Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Ta có △ABM vuông tại M (∠AMB chắn nửa đường tròn (O) đường kính AB)
Xét △ABM và △ABC có:
∠B chung
∠AMB=∠BAC=90 độ
Vậy △ABM ∼△ABC (g-g)
=>∠BAM=∠BCA
Mà ∠BAM=∠BEM ( Góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=>∠BEM=∠BCA
Suy ra tứ giác MEFC nội tiếp ( Góc ngoài= Góc đối trong)
2) Vì △ABC vuông tại A nên AC tiếp tuyến (O)
=>∠EAC=∠ABE
Mà ∠ABE=∠AME ( Góc nội tiếp cùng chắn cung AE)
=>∠EAC=∠AME hay ∠EAK=∠AMK
Xét △AEK và △AKM có ∠K chung
∠EAK=∠AMK (cmt)
Vậy △AEK ∼△AKM(g-g)
=> KE/AK=AK/KM <=> AK2=KE.KM (đpcm)
a: góc BIH+góc BKH=180 độ
=>BIHK nội tiếp
b: OE vuông góc BC
=>sđ cung EB=sđ cung EC
=>góc BAE=góc CAE
Xét ΔAKB vuông tại K và ΔACF vuông tại C có
góc ABK=góc AFC
=>ΔAKB đồng dạng với ΔACF
=>góc BAK=góc CAF
=>góc DAE=góc FAE
=>AE là phân giác của góc DAF
a) Ta có hai tứ giác MNKE,AMKC nội tiếp nên ^MEN = ^MKN = ^MCA = ^ABL => NE // BL
Dễ dàng chứng minh MA là phân giác ngoài của ^KML, kết hợp với tứ giác MNKE nội tiếp
Suy ra ^EKN = ^AMN = ^EMK = ^ENK => \(\Delta\)NEK cân tại E => EN = EK
Theo hệ quả ĐL Thales: \(\frac{KE}{BL}=\frac{NE}{BL}=\frac{MN}{ML}\). Tương tự như thế \(\frac{KF}{CM}=\frac{LN}{ML}\)
Do đó \(\frac{KE}{BL}+\frac{KF}{CM}=\frac{MN+LN}{ML}=1\)(đpcm).
b) Gọi EF cắt hai đường tròn (KNM),(KNL) lần lượt tại J,I (I,J khác F,E)
Dễ thấy EF là trung trực đoạn KN nên IF,JE đồng thời là trung trực của NK.
Mà NK là dây cung của (KNM) và (KNL) nên JE,IF lần lượt là đường kính của (KNM),(KNL)
Ta có ^KFJ = ^KLI = ^KCJ => Tứ giác KJFC nội tiếp. Do EF vuông góc AK, AK vuông góc BC nên EF//BC
Từ đó tứ giác KJFC thang cân. Tương tự: Tứ giác KIEB thang cân
Gọi đường thẳng qua I song song với AC cắt BC ở D. Khi đó tứ giác DIFC bình hành => IF = DC (1)
Đồng thời ^DIJ = ^FCK = ^JKD => Tứ giác KIJD nội tiếp, kết hợp IJ // BC => Tứ giác KIJD thang cân
Do vậy ^JDK = ^IKD = ^BEI và ^DJI = ^IKB = ^EBK. Từ đây có tứ giác BEJD bình hành => JE = BD (2)
Từ (1);(2) => IF + JE = DC + BD = BC. Vì IF.JE là đường kính của (KNL),(KNM) nên ta được ĐPCM.