Question

[👁💧👄💧👁]

1. Vẽ \(\widehat{AOB}\) nhọn. Vẽ tia OC nằm giữa tia OA và OB. Vẽ tia OM sao cho OA là tia phân giác của \(\widehat{MOC}\). Vẽ tia ON sao cho OB là tia phân giác của \(\widehat{NOC}\). Chứng minh \(\widehat{MON}=2\widehat{AOB}\)

2.

a) Cho \(A=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{150}\). Chứng minh: \(\frac{1}{3}< A< \frac{1}{2}\)

b) Cho \(A=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2005}-\frac{1}{2006}\). Chứng minh: \(A=\frac{1}{1004}+\frac{1}{1005}+...+\frac{1}{2006}\)

c) Rút gọn: \(A=\frac{\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{100}}{\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{99\cdot100}}\)

Answer 1

[Nguyễn Thành Trương]

Câu 2a:

Ta có :

\(\frac{1}{101}>\dfrac{1}{150}\)

\(\frac{1}{102}>\dfrac{1}{150}\)

\(....................\)

\(\dfrac{1}{150}=\dfrac{1}{150}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{102}+......+\dfrac{1}{150}>\dfrac{1}{150}+\dfrac{1}{150}+......+\dfrac{1}{150}\) ( có 50 số hạng )

\(\Rightarrow A>\dfrac{1}{150}.50\)

\(\Rightarrow A>\dfrac{1}{3}\) ( 1 )

Ta có :

\(\dfrac{1}{101}< \dfrac{1}{100}\)

\(\dfrac{1}{102}< \dfrac{1}{100}\)

\(.................\)

\(\dfrac{1}{150}< \dfrac{1}{100}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+....+\frac{1}{150}< \dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{100}+........+\dfrac{1}{100}\) ( có 50 số hạng )

\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{100}.50\)

\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{2}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\dfrac{1}{3}< A< \dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\)Điều phải chứng minh

Answer 2

[Rồng Đom Đóm]

Câu 2b với 2c tương tự nên mk sẽ làm 2b nha

\(A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2005}-\frac{1}{2006}\)

\(A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2006}-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2006}\right)\)

\(A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2006}-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1003}\right)\)

\(A=\frac{1}{1004}+\frac{1}{1005}+...+\frac{1}{2006}\left(đpcm\right)\)