đố các bạn nha!
Cho \(a,b>0\)và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2\)
Tìm \(P_{MIN}=a^3+b^3+a\left(b^2-6\right)+b\left(a^2-6\right)\)
Gợi ý:dòng đầu:AM-GM.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
31 tháng 8 2018
Bài 3: \(A=\frac{\left(2a+b+c\right)\left(a+2b+c\right)\left(a+b+2c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Đặt a+b=x;b+c=y;c+a=z
\(A=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}\ge\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
31 tháng 8 2018
Bài 4: \(A=\frac{9x}{2-x}+\frac{2}{x}=\frac{9x-18}{2-x}+\frac{18}{2-x}+\frac{2}{x}\ge-9+\frac{\left(\sqrt{18}+\sqrt{2}\right)^2}{2-x+x}=-9+\frac{32}{2}=7\)
Dấu = xảy ra khi\(\frac{\sqrt{18}}{2-x}=\frac{\sqrt{2}}{x}\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)
T
30 tháng 12 2019
Nhưng trước hết làm cho nó đẹp lại cái đã:v Bài toán gì đâu mà cho toàn phân thức xấu xí, lần sau bảo người ra đề chọn hệ số đẹp hơn nha zZz Cool Kid zZz :DD
\(P=\frac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}{30\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\left(\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)}{4abc}-\frac{3}{4}\right)+\frac{3}{4}-\frac{131\left(a^2+b^2+c^2\right)}{60\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\frac{47}{60}+\frac{\left(ab+bc+ca\right)}{15\left(a^2+b^2+c^2\right)}-\frac{131\left(a^2+b^2+c^2\right)}{60\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{4abc}\)
\(=\frac{47}{60}+\frac{ab+bc+ca}{15\left(a^2+b^2+c^2\right)}-\frac{131\left(a^2+b^2+c^2\right)}{60\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{\frac{4}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\frac{47}{60}+\frac{ab+bc+ca}{15\left(a^2+b^2+c^2\right)}-\frac{131\left(a^2+b^2+c^2\right)}{60\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{9\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{4\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\frac{47}{60}+\frac{1\left(a^2+b^2+c^2\right)}{15\left(ab+bc+ca\right)}-\frac{131\left(ab+bc+ca\right)}{60\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
Đặt \(x=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\Rightarrow x\ge1\). Ta cần tìm min:
\(P=f\left(x\right)=\frac{47}{60}+\frac{1}{15}x-\frac{131}{60x}\)
\(=\frac{47}{60}+\frac{1}{15}x+\frac{1}{15x}-\frac{9}{4x}\)
\(\ge\frac{47}{60}+\frac{2}{15}-\frac{9}{4}=-\frac{4}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
P/s: Tính dùng sos nhưng nghĩ lại ko nên lạm dụng nên dùng cách khác:))
7 tháng 4 2020
Ta có: \(P=1+\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)+\left(\frac{1}{a^3b^3}+\frac{1}{b^3c^3}+\frac{1}{a^3c^3}+\frac{1}{a^3b^3c^3}\right)\)
\(P\ge a+\frac{3}{abc}+\frac{3}{a^2b^2c^2}+\frac{1}{a^3b^3c^3}=\left(1+\frac{1}{abc}\right)^3\) (BĐT Cosi cho 3 số dương)
Theo BĐT Cosi \(abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=8̸\)\(\Rightarrow abc\le8\Rightarrow\frac{1}{abc}\ge\frac{1}{8}\)
Vậy \(P\ge\left(1+\frac{1}{8}\right)^3=\frac{729}{512}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=2
25 tháng 8 2019
1, TH1: x = 1 => n4 + 4 = 5 là số nguyên tố
TH2: x >= 2 => n4 \(\equiv\)1 (mod 5)
=> n4 + 4 \(⋮\)5 (ko là số nguyên tố)
S
4 tháng 1 2020
Để câu trả lời của bạn nhanh chóng được duyệt và hiển thị, hãy gửi câu trả lời đầy đủ và nên:
- Yêu cầu, gợi ý các bạn khác chọn (k) đúng cho mình
- Chỉ ghi đáp số mà không có lời giải, hoặc nội dung không liên quan đến câu hỏi
H9
HT.Phong (9A5)
CTVHS
18 tháng 8 2023
a) \(a^{\dfrac{1}{3}}\cdot a^{\dfrac{1}{2}}\cdot a^{\dfrac{7}{6}}=a^{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{6}}=a^2\)
b) \(a^{\dfrac{2}{3}}\cdot a^{\dfrac{1}{4}}:a^{\dfrac{1}{6}}=a^{\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}}=a^{\dfrac{3}{4}}\)
c) \(\left(\dfrac{3}{2}a^{-\dfrac{3}{2}}\cdot b^{-\dfrac{1}{2}}\right)\left(-\dfrac{1}{3}a^{\dfrac{1}{2}}b^{\dfrac{2}{3}}\right)=\left(\dfrac{3}{2}\cdot-\dfrac{1}{3}\right)\left(a^{-\dfrac{3}{2}}\cdot a^{\dfrac{1}{2}}\right)\left(b^{-\dfrac{1}{2}}\cdot b^{\dfrac{2}{3}}\right)\)
\(=-\dfrac{1}{2}a^{-1}b^{-\dfrac{1}{3}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)
\(\Leftrightarrow2\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)
\(\Leftrightarrow1\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)
\(\Leftrightarrow1\le\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow1\le ab\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1
\(P=a^3+b^3+a\left(b^2-6\right)+b\left(a^2-6\right)\)
\(\Leftrightarrow P=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\left(a+b\right)-6\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow P=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2+ab-6\right)\)
\(\Leftrightarrow P=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-6\right)\)
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=2\Leftrightarrow a+b=2ab\)
Áp dụng:
\(P\ge2ab\left(2ab-6\right)\ge2.1\left(2-6\right)=2.\left(-4\right)=-8\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1
Vậy \(P_{min}=-8\Leftrightarrow a=b=1\)
Tham khảo nhé~
\(\left(\frac{1}{a}+a\right)+\left(\frac{1}{b}+b\right)-\left(a+b\right)\)
\(\ge2+2-\left(a+b\right)=4-\left(a+b\right)\)
Từ đây,ta có: \(2\ge4-\left(a+b\right)\Leftrightarrow a+b\ge2\)
(Biến đổi tương tự như kudo,ta sẽ được:)
\(P=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-6\right)\ge2\left(a^2+b^2-6\right)\)
\(=2a^2+2b^2-12=\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)-12\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: \(P\ge\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)-12\ge\left(a+b\right)^2-12\ge4-12=-8\)
Vậy ...