Question

[nhung Nguyễn]

Cho tam giác ABC vuông ở A . TRên cạnh AC lấy điểm D \(\left(D\ne A;D\ne C\right)\). Vẽ đường tròn (O) đường kính DC cắt BC ở E \(\left(E\ne C\right)\)

CM

1) 4 điểm A,D,E,B cùng thuộc một đường tròn 

2) đường thẳng BD cắt (O) tại I. CM: ED là phân giác \(\widehat{AEI}\)

3) CM : 3 đường thẳng AB,CI,DE đồng quy tại 1 điểm

4) Giả sử \(\tan\widehat{ABC}=\sqrt{2}.\)TÌm vị trí của D trên AC để EA là tiêp tuyến của đường tròn đường kính CD

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

1) Xét đường tròn (O) đường kính CD => ^CED = 90⁰ => ^DEB = 90⁰

Xét tứ giác ADEB có: ^BAD + ^ DEB = 90⁰ + 90⁰ = 180⁰ => Tứ giác ADEB nội tiếp 

Hay 4 điểm A,D,E,B cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

2) Tứ giác ADEB nội tiếp => ^DEA = ^DBA. Tương tự: ^DEI = ^DCI

Ta có: Tứ giác ABCI nội tiếp của đường tròn đường kính BC (Do ^BAC = ^BIC = 90⁰)

=> ^DBA = ^DCI. Từ đó, suy ra: ^DEA = ^DEI => ED là phân giác ^AEI (đpcm).

3) Dễ thấy DE, CI, BA là 3 đường cao của \(\Delta\)BCD nên AB,CI,DE đồng quy (tại trực tâm \(\Delta\)BCD) (đpcm).

4) Xét \(\Delta\)ABC có vuông tại A: \(\tan\widehat{ABC}=\frac{AC}{AB}=\sqrt{2}\Rightarrow AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}\)(theo gt)

Để EA là tiếp tuyến của (CD) thì ^AED = ^DCE. Hay ^ABD = ^ACB (Vì ^AED=^ABD)

<=> \(\Delta\)ADB ~ \(\Delta\)ABC (g,g) <=> \(AB^2=AD.AC\) <=> \(\left(\frac{AC}{\sqrt{2}}\right)^2=AD.AC\)

<=> \(AD=\frac{AC}{2}\)<=> D là trung điểm cạnh AC.

Vậy D là trung điểm AC thì EA là tiếp tuyến của (CD).