Question

[Nguyễn Bảo Mai]

bài 1: cho 3 số a,b,c thỏa mãn:

1/a + 1/b + 1/c = 1/a+b+c

CMR: 1/a²⁰¹⁷ + 1/b²⁰¹⁷ + 1/c²⁰¹⁷ = 1/a²⁰¹⁷+b²⁰¹⁷+c²⁰¹⁷

bài 2

cho a,b,c ∈ Z thỏa mãn: a³+b³ = 2c³

CMR: a+b+c ⋮ 3

@Akai Haruma @Mysterious Person giải theo cách lớp 8 ạ

Answer 1

[Akai Haruma]

Bài 1:
Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}+\frac{a+b+c-c}{c(a+b+c)}=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c(a+b+c)}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b).\frac{c(a+b+c)+ab}{abc(a+b+c)}=0\Leftrightarrow (a+b).\frac{c(c+a)+b(a+c)}{abc(a+b+c)}=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc(a+b+c)}=0\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a+b=0\\ b+c=0\\ c+a=0\end{matrix}\right.\)

Ta xét TH $a+b=0\Rightarrow a=-b$, các TH khác làm tương tự:

Khi đó: \(\frac{1}{a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}}=\frac{1}{(-b)^{2017}+b^{2017}+c^{2017}}=\frac{1}{c^{2017}}\)

Và: \(\frac{1}{a^{2017}}+\frac{1}{b^{2017}}+\frac{1}{c^{2017}}=\frac{1}{(-b)^{2017}}+\frac{1}{b^{2017}}+\frac{1}{c^{2017}}=\frac{1}{c^{2017}}\)

Do đó: \(\frac{1}{a^{2017}}+\frac{1}{b^{2017}}+\frac{1}{c^{2017}}=\frac{1}{a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}}\)

Ta có đpcm.

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 2:

Ta có:

Áp dụng công thức quen thuộc (suy ra trực tiếp từ hằng đẳng thức đáng nhớ): \(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\) ta có:

\(a^3+b^3=2c^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3c^3\)

\(\Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=3c^3\)

\(\Leftrightarrow (a+b)^3+c^3-3ab(a+b)=3c^3\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)^3-3(a+b).c(a+b+c)-3ab(a+b)=3c^3\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)^3=3c^3+3ab(a+b)+3(a+b)c(a+b+c)\vdots 3\)

Mà $3\in\mathbb{P}$ nên \(\Rightarrow a+b+c\vdots 3\)

Ta có đpcm.