Question

[yêu thích toán]

Tìm GTNN của \(A=\frac{x^2+1}{x}\) với:

a) \(0< x\le\frac{1}{2}\)             b)\(x\ge2\)

Answer 1

[tth_new]

a)Dự đoán dấu "=" xảy ra tại \(x=\frac{1}{2}\),hay \(x^2=\frac{1}{4}\).Ta biến đổi như sau:

\(A=\frac{x^2+1}{x}=\frac{x^2+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}{x}=\frac{x^2+\frac{1}{4}}{x}+\frac{3}{4x}\) (1)

Do x > 0 nên \(\frac{x^2+\frac{1}{4}}{x}\ge\frac{2\sqrt{\frac{1}{4}x}}{x}=\frac{2x.\frac{1}{2}}{x}=1\) (BĐT Cô si) (2)

\(0< x\le\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{x}\ge2\Rightarrow\frac{3}{4x}\ge\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\) (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra \(A\ge1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\) hay \(A_{min}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

b)Ta có: \(A=\frac{x^2+1}{x}=\frac{x^2}{x}+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}\)

Dự đoán xảy ra cực trị tại x = 2,ta biến đổi như sau:

\(x+\frac{1}{x}=\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\right)+\frac{3x}{4}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{1x}{4x}}+\frac{3x}{4}=2.\frac{1}{2}+\frac{3x}{4}\ge1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)

Vậy ....

Ngoài ra câu b) còn có thể giải như sau:

Dự đoán xảy ra cực trị tại x = 2,tức là x² =4 ,ta biến đổi:

\(A=\frac{x^2+4-3}{x}=\frac{x^2+4}{x}-\frac{3}{x}\) (1)

Do x > 0 nên \(\frac{x^2+4}{x}\ge\frac{1\sqrt{4x^2}}{x}=\frac{2.x.2}{x}=4\) (2)

Do \(x\ge2\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{3}{x}\le\frac{3}{2}\Rightarrow\frac{-3}{x}\ge\frac{-3}{2}\) (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra \(A\ge4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)

Vậy ...

Answer 2

[tth_new]

Chết nhầm,bạn sửa chỗ đoạn cuối: \(\frac{x^2+4}{x}\ge\frac{1\sqrt{4x^2}}{x}=\frac{2x.2}{x}=4\)

thành ​​\(\frac{x^2+4}{x}\ge\frac{2\sqrt{4x^2}}{x}=\frac{2x.2}{x}=4\) mới chính xác nha!Mình đánh nhanh quá nên nhầm:v Đánh nhanh mà còn mất 11 phút =))))