Cho \(x,y\) là các số thực thỏa mãn \(2x^2+y^2+xy\ge1\). Tìm GTNN của biểu thức: \(A=x^2+y^2\)
:))) @Akai Haruma, @Lightning Farron, @Serena chuchoe, @Hung Nguyen, ...
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 3 2021
\(P=x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^3=\dfrac{64}{3}\)
\(P_{min}=\dfrac{64}{3}\) khi \(x=y=z=\dfrac{4}{3}\)
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a+1;b+1;c+1\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=1\\a;b;c\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow0\le a;b;c\le1\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le a+b+c=1\)
\(P=\left(a+1\right)^2+\left(b+1\right)^2+\left(c+1\right)^2\)
\(P=a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)+3=a^2+b^2+c^2+5\le1+5=6\)
\(P_{max}=6\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị hay \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;2\right)\) và hoán vị
PB
0
27 tháng 3 2020
Với y = 0 ta có: \(x^2=\frac{1}{2}\)=> M = 1/2 (1)
Với y khác 0
Ta có: \(M=x^2-xy+y^2=\frac{x^2-xy+y^2}{2x^2-xy+y^2}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2-\frac{x}{y}+1}{2\left(\frac{x}{y}\right)^2-\frac{x}{y}+1}\)
Đặt: \(\frac{x}{y}=t\)
Ta có: \(M=\frac{t^2-t+1}{2t^2-t+1}\Leftrightarrow\left(2M-1\right)t^2+\left(1-M\right)t+M-1=0\)(1)
+) Nếu 2M - 1 = 0 <=> M = 1/2 (2)
khi đó: t = 1
+) Nếu M khác 1/2
(1) có \(\Delta=\left(1-M\right)^2-4\left(2M-1\right)\left(M-1\right)=-7M+10M-3\)
Để (1) có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)<=> \(\frac{3}{7}\le M\le1\)(3)
Từ (1); (2); (3) ta có GTNN của M = 3/7
Dấu "=" xảy ra <=> t = 2 hay \(\frac{x}{y}=2\Leftrightarrow x=2y\)
Thay vào \(2x^2-xy+y^2=1.\) ta có: \(8y^2-2y^2+y^2=1.\)
<=> \(y=\pm\frac{1}{\sqrt{7}}\)
Với \(y=\frac{1}{\sqrt{7}}\Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt{7}}\)
Với \(y=\frac{-1}{\sqrt{7}}\Rightarrow x=\frac{-2}{\sqrt{7}}\)
Kết luận vậy min M = 1 tại ( x ; y ) \(\in\left\{\left(\frac{2}{\sqrt{7}};\frac{1}{\sqrt{7}}\right);\left(\frac{-2}{\sqrt{7}};\frac{-1}{\sqrt{7}}\right)\right\}\)
HN
1
13 tháng 4 2022
We have : \(A=x+y+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{x+y}{2}+\left(\dfrac{y}{2}+\dfrac{2}{y}\right)+\left(\dfrac{1}{2x}+\dfrac{x}{2}\right)\)
\(Applying\) C-S we have : \(\dfrac{y}{2}+\dfrac{2}{y}\ge2;\dfrac{1}{2x}+\dfrac{x}{2}\ge1\)
x + y \(\ge3\) \(\Rightarrow\dfrac{x+y}{2}\ge\dfrac{3}{2}\)
So : \(A\ge\dfrac{3}{2}+2+1=\dfrac{9}{2}\)
" = " \(\Leftrightarrow x=1;y=2\)
2 tháng 4 2020
mình làm cho bạn 2 cách nha
Cách 1 )
ta có \(1\le y\le2\Leftrightarrow\frac{1}{y^2+1}\ge\frac{1}{2x+3}\)
ta có \(xy+2\ge2y\Leftrightarrow x\ge\frac{2\left(y-1\right)}{y}\ge0\)
ta có \(M=\frac{x^2+4}{y^2+1}=\left(x^2+4\right).\frac{1}{y^2+1}\ge\left(2x+3\right).\frac{1}{2x+3}=1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)
zậy \(minM=\frac{x^2+4}{y^2+1}khi\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)
2 tháng 4 2020
cách 2)
ta có \(1\le y\le2;xy+2\ge2y\Leftrightarrow4xy+8\ge8y;4x^2+y^2+8\ge4xy+8\)
từ đó ta có
\(4\left(x^2+4\right)\ge-y^2+8+8y=4\left(y^2+1\right)+\left(5y+2\right)\left(2-y\right)\ge4\left(x^2+1\right)\Rightarrow M=1\)
zậy kết luận như cách 1
S
5
30 tháng 12 2019
Tìm min :
Ta có : \(x^2+y^2-xy=4\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=4+xy\le4+\frac{x^2+y^2}{2}\) ( vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\) )
\(\Leftrightarrow\frac{A}{2}\le4\)
\(\Leftrightarrow A\le8\)
30 tháng 12 2019
Tìm max
\(x^2+y^2-xy=4\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=4+xy\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2\right)=8+\left(x+y\right)^2\ge8\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{8}{3}\)
12 tháng 3 2021
\(M=\dfrac{2x+y}{xy}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{3\left(2x+y\right)}{16}+\dfrac{3}{2x+y}+\dfrac{5}{16}\left(2x+y\right)\ge2\sqrt{\dfrac{3}{16}.3}+\dfrac{5}{16}.2\sqrt{2xy}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{11}{4}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = 1; y = 2.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 3 2021
\(M=\dfrac{2x+y}{xy}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\)
\(M=\dfrac{3\left(2x+y\right)}{16}+\dfrac{3}{2x+y}+\dfrac{5\left(2x+y\right)}{16}\ge2\sqrt{\dfrac{9\left(2x+y\right)}{16\left(2x+y\right)}}+\dfrac{5}{16}.2\sqrt{2xy}=\dfrac{11}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)
14 tháng 3 2021
Ta có:
\(M=\dfrac{2x+y}{xx}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\)
\(=\left(\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\right)+\dfrac{5}{8}\dfrac{2x+y}{2}\)
Có: \(\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\ge2\sqrt{\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}\dfrac{3}{2x+y}}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}=\dfrac{3}{2x+y}\)
Có: \(\dfrac{5}{8}\dfrac{2x+y}{2}\ge\dfrac{5}{8}\sqrt{2xy}=\dfrac{5}{4}\)
Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow2x=y,xy=2\)
\(\Rightarrow M\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{11}{4}\)
Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow x=1,y=2\)
Vậy GTNN của M là \(\dfrac{11}{4}\Leftrightarrow x=1,y=2\)
\(\Rightarrow\dfrac{A}{2x^2+y^2+xy}\le\dfrac{A}{1}\Leftrightarrow\dfrac{x^2+y^2}{2x^2+y^2+xy}\le A\)
Đặt \(\dfrac{x}{y}=t\). Ta có:
\(P=\dfrac{x^2+y^2}{2x^2+y^2+xy}=\dfrac{\left(\dfrac{x^2}{y^2}\right)+\left(\dfrac{y^2}{y^2}\right)}{\left(\dfrac{2x^2}{y^2}\right)+\left(\dfrac{y^2}{y^2}\right)+\left(\dfrac{xy}{y^2}\right)}=\dfrac{t^2+1}{2t^2+1+t}\)
\(\Rightarrow2t^2P+P+Pt=t^2+1\Leftrightarrow t^2\left(2P-1\right)+Pt+P-1\)
\(\Delta=P^2-4\left(2P-1\right)\left(P-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{6-2\sqrt{2}}{7}\le P\le\dfrac{6+2\sqrt{2}}{7}\)
\(\Rightarrow A\ge P\ge\dfrac{6-2\sqrt{2}}{7}\)
sời god ^.^