a,b ,c là các số dương , a b c$\le$$\dfrac{3}{2}$ . tìm GTNN của a)a b c $\dfrac{a}{b^2}$ $\dfrac{b}{c^2}$ $\dfrac{c}{a^2}$ b) \(\dfrac{a^2}{b} \dfrac{b^2}{c} \dfrac{c^2}{a} \dfrac{1}{a} \...

KS

kim sone

25 tháng 7 2018

a,b ,c là các số dương , a+b+c$\le$$\dfrac{3}{2}$ . tìm GTNN của a)a+b+c+$\dfrac{a}{b^2}$+$\dfrac{b}{c^2}$+$\dfrac{c}{a^2}$ b) $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ c)$\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}$ Các bạn giúp mk...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

0

TD

Trần Đức Huy

5 tháng 2 2022

Cho các số a,b,c>0 và a+b+c$\le\dfrac{3}{2}$.Tìm GTNN của biểu thức

$Q=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}$

#Toán lớp 9

1

C

☆Châuuu~~~(๑╹ω╹๑ )☆

5 tháng 2 2022

$=\left(1^2+4^2\right)\left(a^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\ge\left(1a+4.\dfrac{1}{b}\right)^2\\ \Rightarrow\sqrt{a^2+\dfrac{1}{vb^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(a+\dfrac{4}{b}\right)$

Tương tự

$\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(b+\dfrac{4}{c}\right)\\ \sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(c+\dfrac{4}{a}\right)\\ Do.đó:\\ Q\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(a+b+c+\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\\ \left(a+b+c+\dfrac{36}{a+b+c}\right)$

$=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\\ \left[a+b+c+\dfrac{9}{4\left(a+b+c\right)}+\dfrac{135}{4\left(a+b+c\right)}\right]\\ \ge\dfrac{3\sqrt{17}}{2}$

Đúng(0)

TD

Trần Đức Huy

5 tháng 2 2022

Cái thứ nhất là tại sao có cái đầu tiên =)) cái thứ 2 dấu bằng xảy ra khi nào :V

Đúng(0)

HM

hoàng minh chính

26 tháng 4 2022

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 chứng minh$\dfrac{a}{a+b^2}+\dfrac{b}{b+c^2}+\dfrac{c}{c+a^2}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)$

#Toán lớp 9

0

BC

Big City Boy

26 tháng 10 2021

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$. CMR: $\dfrac{a^2}{a+bc}+\dfrac{b^2}{b+ca}+\dfrac{c^2}{c+ba}\le\dfrac{a+b+c}{4}$

#Toán lớp 9

1

NH

Nguyễn Hoàng Minh

26 tháng 10 2021

Sửa $\le$ thành $\ge$ nha bạn

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc$

Ta có $\dfrac{a^2}{a+bc}=\dfrac{a^3}{a^2+abc}=\dfrac{a^3}{a^2+ab+bc+ca}=\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}$

Tương tự: $\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^2}{b+ca}=\dfrac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}\\\dfrac{c^2}{c+ba}=\dfrac{c^3}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}\end{matrix}\right.$

Áp dụng BĐT cosi:

$\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{64}}=\dfrac{3}{4}a$

$\dfrac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{b+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{b^3}{64}}=\dfrac{3}{4}b$

$\dfrac{c^3}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{b+c}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{c^3}{64}}=\dfrac{3}{4}c$

Cộng VTV:

$\Leftrightarrow VT+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}+\dfrac{b+c}{8}\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)\\ \Leftrightarrow VT\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{4}-\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{8}\\ \Leftrightarrow VT\ge\dfrac{a+b+c}{4}$

Dấu $"="\Leftrightarrow a=b=c=3$

Đúng(1)

HM

Hi Mn

31 tháng 12 2022

+) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: a+2b+3c=3

CM: $\sqrt{\dfrac{2ab}{2ab+9c}}+\sqrt{\dfrac{2bc}{2bc+a}}+\sqrt{\dfrac{ac}{ac+2b}}\le\dfrac{3}{2}$

+) Cho a,b,c >0 và a+b+c≤3

Tìm min P$=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}$

#Toán lớp 9

0

QK

Quốc Khánh

9 tháng 2 2021

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:

$\dfrac{a+b}{bc+a^2}+\dfrac{b+c}{ac+b^2}+\dfrac{c+a}{ab+c^2}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

#Toán lớp 8

2

NT

nguyen thi vang

10 tháng 2 2021

Xét hiệu VT - VP

$\dfrac{a+b}{bc+a^2}+\dfrac{b+c}{ab+b^2}+\dfrac{c+a}{ab+c^2}-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}=\dfrac{a^2+ab-bc-a^2}{a\left(bc+a^2\right)}+\dfrac{b^2+bc-ac-b^2}{b\left(ac+b^2\right)}+\dfrac{c^2+ac-ab-c^2}{c\left(ab+c^2\right)}=\dfrac{b\left(a-c\right)}{a\left(bc+a^2\right)}+\dfrac{c\left(b-a\right)}{b\left(ac+b^2\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)}{c\left(ab+c^2\right)}$

Do a,b,c bình đẳng nên giả sử a$\ge$b$\ge$c, khi đó $b\left(a-c\right)$$\ge$0, c(b-a)$\le$0, a(c-b)$\le$0

$a^3\ge b^3\ge c^3=>abc+a^3\ge abc+b^3\ge abc+c^3$=>$\dfrac{b\left(a-c\right)}{a\left(bc+a^2\right)}\le\dfrac{b\left(a-c\right)}{b\left(ac+b^2\right)}$

=> VT -VP $\le$ $\dfrac{b\left(a-c\right)}{a\left(bc+a^2\right)}+\dfrac{c\left(b-a\right)}{b\left(ac+b^2\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)}{c\left(ab+c^2\right)}=\dfrac{ab-ac}{b\left(ac+b^2\right)}+\dfrac{ac-ab}{c\left(ab+c^2\right)}=\dfrac{a\left(b-c\right)}{b\left(ac+b^2\right)}-\dfrac{a\left(b-c\right)}{c\left(ab+c^2\right)}$

mà $\dfrac{1}{b\left(ac+b^2\right)}\le\dfrac{1}{c\left(ab+c^2\right)}$ nên VT-VP <0 đpcm

Đúng(2)

T

tthnew

10 tháng 2 2021

$a,b,c$ ở đây chỉ có vai trò là hoán vị thôi nên không được giả sử $a\ge b\ge c$ đâu ạ. Nên cách này chưa trọn vẹn.

Đúng(0)

D

Dr.STONE

14 tháng 2 2022

-Nhờ mọi người làm giúp tui bài này với. Ngày mai tui nộp rồi.

Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh rằng:

$\dfrac{3}{2}\le\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\le\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}$

#Toán lớp 8

2

NV

Người Vô Danh

14 tháng 2 2022

a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = a^2/(ab+ac) + b^2/(ba+bc) + c^2/(ac+bc) >=

(a+b+c)^2/(2.(ab+bc+ac) (buhihacopxki dạng phân thức)

>= (3.(ab+bc+ac)/(2(ab+bc+ac) =3/2

a^2/(b^2+c^2) + b^2/(a^2+c^2) + c^2/(a^2+b^2) >= (a+b+c)^2/(2.(a^2+b^2+c^2) (buhihacopxki dạng phân thức)

>= 3(a^2+b^2+c^2) / 2(a^2+b^2+c^2) >=3/2

Đúng(0)

NN

Nguyễn Ngọc Huy Toàn

15 tháng 2 2022

$\Leftrightarrow\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}-\dfrac{3}{2}\ge0$

$\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{b+c}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{b}{c+a}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{c}{a+b}-\dfrac{1}{2}\right)\ge0$

$\Leftrightarrow\left(\dfrac{2a-b-c}{2\left(b+c\right)}\right)+\left(\dfrac{2b-a-c}{2\left(a+c\right)}\right)+\left(\dfrac{2c-a-b}{2\left(a+b\right)}\right)\ge0$

$\Leftrightarrow\dfrac{a-b+a-c}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{b-a+b-c}{2\left(a+c\right)}+\dfrac{c-a+c-b}{2\left(a+b\right)}\ge0$

$\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{a-c}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{b-a}{2\left(a+c\right)}+\dfrac{b-c}{2\left(a+c\right)}+\dfrac{c-a}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{c-b}{2\left(a+b\right)}\ge0$$\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}-\dfrac{1}{2\left(a+c\right)}\right]+\left(a-c\right)\left[\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}-\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}\right]+\left(b-c\right)\left[\dfrac{1}{2\left(a+c\right)}-\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}\right]\ge0$

ta có: a,b,c là 3 số dương bất kì nên ta giả sử $a\ge b\ge c$

$\Rightarrow a+c\ge b+c$

$\Leftrightarrow2\left(a+c\right)\ge2\left(b+c\right)$

$\Leftrightarrow\dfrac{1}{2\left(a+c\right)}\le\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}$

$\Leftrightarrow\dfrac{1}{2\left(a+c\right)}-\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}\ge0$

Mà $a\ge b\Rightarrow a-b\ge0$

$\Rightarrow\left(a-b\right)\left[\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}-\dfrac{1}{2\left(a+c\right)}\right]\ge0\left(1\right)$

Chứng minh tương tự, ta có:

$\left(a-c\right)\left[\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}-\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}\right]\ge0\left(2\right)$

$\left(b-c\right)\left[\dfrac{1}{2\left(a+c\right)}-\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}\right]\ge0\left(3\right)$

Cộng từng vế (1);(2);(3) $\Rightarrow$ luôn đúng

$\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}$

Đúng(0)

TP

Trương pHÁT

28 tháng 5 2022

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Tìm GTNN của biểu thức

S=$\dfrac{a^2+b^2+2}{a+b-ab}+\dfrac{a^2+c^2+2}{a+c-ac}+\dfrac{c^2+b^2+2}{c+b-bc}$

#Toán lớp 8

0

KC

khong có

17 tháng 11 2021

Cho a,b,c > 0, a+b+c $\le\dfrac{3}{2}$. Tìm GTNN của biểu thức

$S=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}$

#Toán lớp 10

1

MY

missing you =

17 tháng 11 2021

$S=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}$

$\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\sqrt{\left(a^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\left(1+4^2\right)}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(a+\dfrac{4}{b}\right)\left(1\right)$$\left(bunhia\right)$

$tương-tự\Rightarrow\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(b+\dfrac{4}{c}\right)\left(2\right)$

$\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(c+\dfrac{4}{a}\right)\left(3\right)$

$\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow S\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(a+\dfrac{4}{b}+b+\dfrac{4}{c}+c+\dfrac{4}{a}\right)$

$\Rightarrow S\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left[16a+\dfrac{4}{a}+16b+\dfrac{4}{b}+16c+\dfrac{4}{c}-15\left(a+b+c\right)\right]$

$\Rightarrow S\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left[2\sqrt{16a.\dfrac{4}{a}}+2\sqrt{16b.\dfrac{4}{b}}+2\sqrt{16c.\dfrac{4}{c}}-15.\dfrac{3}{2}\right]\left(am-gm\right)$

$\Rightarrow S\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(16+16+16-\dfrac{45}{2}\right)=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}$

$\Rightarrow MinS=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{2}$

Đúng(3)

G

Gay\

28 tháng 4 2021

Cho 3 số dương a,b,c. Tìm GTNN của:
$P=\left(a+b+c\right)^2\left(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)$

#Toán lớp 9

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

28 tháng 4 2021

$P\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{9}{ab+bc+ca}\right)$

$P\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\right)$

$P\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}+\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}\right)=30$

$P_{min}=30$ khi $a=b=c$

Đúng(1)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP