1,Chứng minh rằng:
\(0\le\frac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}\le1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PG
1
7 tháng 3 2020
Với \(0\le x;y\le1\) ta có:
\(\frac{x}{\sqrt{y+3}}+\frac{y}{\sqrt{x+3}}\ge\frac{x}{\sqrt{1+3}}+\frac{y}{\sqrt{1+3}}=\frac{x+y}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1
Có: \(0\le x;y\le1\)
=> \(0\le x^2\le x\le1;0\le y^2\le y\le1\)
\(\left(\frac{x}{\sqrt{y+3}}+\frac{y}{\sqrt{x+3}}\right)^2\le2\left(\frac{x^2}{y+3}+\frac{y^2}{x+3}\right)\le2\left(\frac{x}{x+y+2}+\frac{y}{x+y+2}\right)\)
\(=2\left(\frac{x+y+2}{x+y+2}-\frac{2}{x+y+2}\right)\le2\left(1-\frac{2}{1+1+2}\right)=1\)
=> \(\sqrt{\frac{x}{\sqrt{y+3}}+\frac{y}{\sqrt{x+3}}}\le1\)
Dấu "=" xảy ra x<=> = y =1
PN
5 tháng 7 2020
Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số không âm :
\(x^2+\frac{1}{x}\ge2\sqrt[2]{\frac{x^2}{x}}=2.\sqrt{x}\)
\(y^2+\frac{1}{y}\ge2\sqrt[2]{\frac{y^2}{y}}=2.\sqrt{y}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng mình
5 tháng 7 2020
Ta đi chứng minh:\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)* đúng *
Khi đó:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{abc\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{b}{abc\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)
NB
6 tháng 8 2019
Mình cũng nghĩ là đề sai,... do cái này là tài liệu trên mạng.
NM
1
26 tháng 5 2018
\(\dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}\ge0\)(1)
\(\dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}-1=\dfrac{\sqrt{x}-x+\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}+1}=\dfrac{-\left(x-2\sqrt{x}+1\right)}{x-\sqrt{x}+1}=-\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}\le0\)
\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}\le1\) (2)
(1);(2) => đpcm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 4 2020
\(\sqrt{1-x^2}\ge0\) là hiển nhiên của căn thức
Lại có \(x^2\ge0\Rightarrow1-x^2\le1\Rightarrow\sqrt{1-x^2}\le1\)
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 4 2020
Do \(-1\le x\le1\Rightarrow2-x^2>0\)
BĐT tương đương:
\(\Leftrightarrow2+2\sqrt{1-x^2}\ge\left(2-x^2\right)^2\)
Đặt \(\sqrt{1-x^2}=t\Rightarrow0\le t\le1\)
\(\Leftrightarrow2+2t\ge\left(1+t^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow t^4+2t^2-2t-1\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t^3+t^2+3t+1\right)\le0\) (luôn đúng \(\forall t\in\left[0;1\right]\))
Dấu "=" xảy ra khi \(t=1\) hay \(x=0\)
LT
0
25 tháng 7 2016
P=\(\sqrt{\frac{\sqrt{x}\left(x\sqrt{x}-1\right)}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}\left(x\sqrt{x}+1\right)}{x-\sqrt{x}+1}+x+1}\)
=\(\sqrt{\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{x-\sqrt{x}+1}+x+1}\)
=\(\sqrt{x-\sqrt{x}-x-\sqrt{x}+x+1}\)
=\(\sqrt{x-2\sqrt{x}+1}\)
=\(\sqrt{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}\)
=\(\sqrt{x}-1\)
a) \(x-\sqrt{x}+1>0\)mà \(\sqrt{x}\)>0 => biểu thức > 0
b) \(\sqrt{x}\)\(\le x-\sqrt{x}+1\)<=> \(x-2\sqrt{x}+1\ge0\)(nhân lên do không âm)
<=> \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\)=> đpcm ^^