CM BĐT : \(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}< 2\sqrt{n}\)với 0 < |a| ≤ n
ÁP dụng CMR : \(\sqrt{101}-\sqrt{99}>0,1\)
@Akai Haruma
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
6 tháng 7 2017
Ta có:
\(\left(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}\right)^2< \left(1+1\right)\left(n+a+n-a\right)=4n\)
\(\Rightarrow\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}< \sqrt{4n}=2\sqrt{n}\)
cm thì xong r` mà BĐT trên thì + biểu thức dưới là - là sao ??
20 tháng 7 2018
Ai đánh m '-' Cứ tl đi a cho e kẹo nhenn ( a hiền mà :3 )
20 tháng 7 2018
\(\left(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(n+a+n-a\right)=4n\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}\le2\sqrt{n}\)
Dấu "=" hiển nhiên k xảy ra ( a>0) nên ta có đpcm
Áp dụng: Cái bđt kia ko lq đến cái bđt cm ở trên. xem lại đề
ON
27 tháng 8 2018
Mình học lớp 6 nên chẳng may có gì sai bạn(chị anh) sửa giúp em nhé:
Ta có:
\(\left(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}\right)^2< \left(2\sqrt{n}\right)^2\) (bình phương cả 2 vế)
=> \(2n+2\sqrt{n^2-a^2}< 4n\)
=>\(2\sqrt{n^2-a^2}< 2n\)
=>\(\sqrt{n^2-a^2}< n\)
=>n2 - a2 < n2 (bình phương cả 2 vế)
Vì |a|>0
=>a2 > 0
=> n2-a2 < n2
Vậy \(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}< 2\sqrt{n}\)
câu b làm tương tự nhé:
1 tháng 8 2018
Ta có : \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}< \dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\) ⇒ \(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{n}}\left(1\right)\)
\(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\dfrac{\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}>\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\) ⇒ \(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)>\dfrac{1}{\sqrt{n}}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1;2\right)\text{⇒ }đpcm\)
nè
VT
2
AN
31 tháng 10 2019
Ta có:\(\left|a\right|>0\)
\(\Leftrightarrow a^2>0\)
\(\Leftrightarrow-a^2< 0\)
\(\Leftrightarrow n^2-a^2< n^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{n^2-a^2}< \sqrt{n^2}\)(\(n\ge a\Leftrightarrow n^2\ge a^2\Leftrightarrow n^2-a^2\ge0\))
\(\Leftrightarrow\sqrt{n^2-a^2}< n\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{n^2-a^2}< 2n\)
\(\Leftrightarrow\left(n+a\right)+\left(n-a\right)+2\sqrt{\left(n+a\right)\left(n-a\right)}< 2n+n+a+n-a\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}\right)^2< 4n\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}< 2\sqrt{n}\)
1 tháng 11 2019
Cách khác:
Với x,y \(\ge\)0 luôn có: \(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\) (1)
Thật vậy (1) <=> \(x^2+y^2+2xy\le2\left(x^2+y^2\right)\)
<=>\(0\le x^2-2xy+y^2=\left(x-y\right)^2\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y\(\ge0\)
Do \(0\le\left|a\right|\le n\) => \(n-a\ge0\) ( khi cả a âm hay a dương)
Áp dụng bđt (1) có: \(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}\le\sqrt{2\left(n+a+n-a\right)}\)=\(\sqrt{2.2n}=2\sqrt{n}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(n+a=n-a\) <=> 2a=0 <=> a=0( không thỏa mãn đk)
=> Dấu "=" không xảy ra
Vậy \(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}< 2\sqrt{n}\)
P/s : không phải lúc nào cũng có thể làm giống NK hoặc cách mình nên bạn hãy tham khảo
MS
27 tháng 1 2019
1/ Áp dungk bđt Cosi:
\(x^2+y^2\ge2xy\)
Để \(x^2+y^2⋮xy\)
Thì \(x^2+y^2=2xy\)
khi đó x=y
Vậy để \(x^2+y^2+10⋮xy\)
thì \(10⋮xy\)
Mà x=y
Nên \(10⋮x^2\)
\(\Rightarrow x^2\in\left\{1;4;9\right\}\)
Thay \(x^2\in\left\{1;4;9\right\}\) và x = y vào \(x^2+y^2+10\)
Ta nhận x=1
=>y=1
mà (1;1)=1
1 lẻ
nên ta có đpcm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 2 2019
Ta có \(\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^2+n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2+n^2+2n+1+n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2+2n\left(n+1\right)+1}{n^2\left(n+1\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(n\left(n+1\right)+1\right)^2}{n^2\left(n+1\right)^2}}=\dfrac{n\left(n+1\right)+1}{n\left(n+1\right)}=1+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}=1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}}+...+\sqrt{1+\dfrac{1}{2017^2}+\dfrac{1}{2018^2}}\)
\(=1+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+1+\dfrac{1}{2016}-\dfrac{1}{2017}+1+\dfrac{1}{2017}-\dfrac{1}{2018}\)
\(=2018-\dfrac{1}{2018}< 2018\) (đpcm)
b/ Mọi tổng có dạng \(\sum\dfrac{1}{n}\) hay \(\sum\dfrac{1}{\sqrt{n}}\) gì đó đều ko tính ra kết quả cụ thể được, chỉ chứng minh chúng nằm trong khoảng nào đó thì được
6 tháng 7 2017
Ta có :
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\end{cases}}\forall n\in N\)
Suy ra : \(\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Đặt \(M=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2499}}+\frac{1}{\sqrt{2500}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}M=\frac{1}{2\sqrt{2500}}+\frac{1}{2\sqrt{2499}}+...+\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT , ta có :
\(\frac{1}{2}M< \sqrt{2500}-\sqrt{2499}+\sqrt{2499}-\sqrt{2498}+...+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}M< \sqrt{2500}-\sqrt{1}+\frac{1}{2}=50-\frac{1}{2}< 50\)
\(\Rightarrow M< 100\)
\(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}\le2\sqrt{n}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}\right)^2\le\left(2\sqrt{n}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2n+2\sqrt{n^2-a^2}\le4n\)
\(\Leftrightarrow n\ge\sqrt{n^2-a^2}\Leftrightarrow n\ge n^2-a^2\)
\(\Leftrightarrow a\ge0\)