Question

[Lê Hồ Nhật Minh]

Cho hàm số (P) : y=x²

Hai điểm A , B thuộc (P) với hoành độ tương ứng là -1 và 2. Tìm điểm M trên cung AB cùa (P) sao cho tam giác AMB có diện tích lớn nhất.

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

\(A,B\in (P); x_A=-1; x_B=2\Rightarrow y_A=(-1)^2=1; y_B=2^2=4\)

Vậy \(A(-1;1);B(2;4)\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{(-1-2)^2+(1-4)^2}=3\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow AB^2=18\)

$M$ nằm trên cung $AB$ tức là M nằm trên đường tròn đường kinh $AB$

Do $AB$ là đk nên \(\widehat{AMB}=90^0\Leftrightarrow MA\perp MB\)

\(\Rightarrow S_{ABM}=\frac{MA.MB}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM và Pitago:

\(MA.MB\leq \frac{MA^2+MB^2}{2}=\frac{AB^2}{2}=\frac{18}{2}=9\)

\(\Rightarrow S_{AMB}\leq \frac{9}{2}\). Vậy $S_{MAB}$ max bằng $\frac{9}{2}$. Dấu bằng xảy ra khi $MA=MB$ (theo BĐT AM-GM) hay $M$ là điểm chính giữa cung $AB$