Question

[Thành Trương]

Bài 1: Giải các phương trình, hệ phương trình sau:

a) \((3x+1)(4x+1)(6x+1)(12x+1)=2\)

b) \(\begin{cases} x(x+\dfrac{4}{y})+\dfrac{1}{y^2}=2 \\ x(2+\dfrac{1}{y})+\dfrac{2}{y}=3 \end{cases}\)

c) \((x^2-9)\sqrt{2-x}=x(x^2-9)\)

d) \(\begin{cases} (x^2+4y^2)^2-4(x^2+4y^2)=5\\ 3x^2+2y^2=5 \end{cases}\)

e) \(\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2x^2}=2 \sqrt{x-x^2}\)

f) \(\dfrac{9}{x^2}+\dfrac{2x}{\sqrt{2x^2+9}}-1=0\)

Bài 2: a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(3x^2-2y^2-5xy+x-2y-7=0\)

b) Cho các số thực a, b thỏa mãn căn bậc \(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b} =\sqrt[3]{b-\dfrac{1}{4}}\). CMR: \(-1< a <0\)

c) Tìm số nguyên a, b, c thỏa: \(a+b+c=0\), \(ab+bc+ca=3\)

d) Với k là số nguyên dương, chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên a,b,c khác 0 sao cho \(a+b+c=0\), \(ab+bc+ca+2^k=0 \)

Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Đường thẳng vuông góc với AD tại A cắt BC tại E. Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt CD tại F. Chứng minh: O, E, F thẳng hàng.

Bài 4: Cho hình thang ABCD vuông tại A và B, M là trung điểm AB. Đường thẳng qua A vuông góc với MD cắt đường thẳng qua B vuông góc với MC tại N. Chứng minh rằng: MN vuông góc CD.

Answer 1

[Phùng Khánh Linh]

Câu 1a thì được nè :v

( 3x + 1)( 4x + 1)( 6x + 1)( 12x + 1) = 2

⇔ 4( 3x + 1)3( 4x + 1)2( 6x + 1)( 12x + 1) = 2.4.3.2

⇔ ( 12x + 4)( 12x + 3)( 12x + 2)( 12x + 1) =48 ( 1)

Đặt : 12x + 1 = a , ta có :

( 1) ⇔ a( a+ 1)( a + 2)( a + 3) = 48

⇔ ( a² + 3a)( a² + 3a +2) = 48

Đặt : a³ + 3a = t , ta có :

t( t +2) =48

⇔ t² + 2t - 48 = 0

⇔ t² - 6t + 8t - 48 = 0

⇔ t( t - 6) + 8( t - 6) = 0

⇔ ( t - 6)( t + 8) = 0

⇔ t = 6 hoặc t = -8

Tự thế vào mà tìm a sau đó suy ra x nha

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 1:

b)

HPT \(\left\{\begin{matrix} x^2+\frac{1}{y^2}+\frac{4x}{y}=2\\ 2\left(x+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left(x+\frac{1}{y}\right)^2+\frac{2x}{y}=2\\ 2\left(x+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}=3\end{matrix}\right.\)

Lấy PT(1) trừ 2PT(2) thu được:

\(\left(x+\frac{1}{y}\right)^2-4\left(x+\frac{1}{y}\right)=-4\)

\(\Leftrightarrow \left(x+\frac{1}{y}-2\right)^2=0\Rightarrow x+\frac{1}{y}=2\)

Thay vào thu được \(\frac{x}{y}=-1\)

Theo định lý Viete đảo thì \((x,\frac{1}{y})\) là nghiệm của PT:

\(X^2-2X-1=0\)

\(\Rightarrow (x,\frac{1}{y})=(1+\sqrt{2}; 1-\sqrt{2})\) hoặc \((1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2})\)

Tức là: \((x,y)=(1+\sqrt{2}, -1-\sqrt{2}); (1-\sqrt{2}; -1+\sqrt{2})\)