Question

[Tú Nguyễn]

Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn.Kẻ 2 tiếp tuyến AM,AN và cát tuyến ABC với đường tròn (AB<AC).Qua O kẻ OK vuông góc với BC tại K,OK cắt MN tại S.Chứng minh SC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Answer 1

[Akai Haruma]

Hình vẽ:

Answer 2

[Akai Haruma]

Gọi \(AO\cap MN\equiv H\)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, $AM=AN$. Mà $OM=ON$ nên $OA$ là trung trực của $MN$

Do đó \(OA\perp MN\Leftrightarrow \widehat{SHA}=90^0(1)\)

Mặt khác $BC$ vuông góc với $OK$ suy ra $AC$ vuông góc với $SO$ , do đó \(\widehat{SKA}=90^0(2)\)

Từ (1);(2) suy ra tứ giác $SKHA$ nội tiếp (hai góc cùng nhìn một cạnh bằng nhau)

Do đó theo tính chất tứ giác nội tiếp thì: \(OK.OS=OH.OA(*)\)

Vì $AM$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $AM\perp MO$

Xét tam giác vuông $AMO$ có đường cao $MH$, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông $OC^2=R^2=MO^2=OH.OA (**)$

Từ \((*);(**)\Rightarrow OC^2=OK.OS\)

\(\Leftrightarrow \frac{OC}{OK}=\frac{OS}{OC}\)

Do đó tam giác $OCK$ đồng dạng với tam giác $OSC$ theo trường hợp cạnh- góc cạnh (có góc $O$ chung và tỷ số trên)

\(\Rightarrow \widehat{OCS}=\widehat{OCK}=90^0\)

\(\Rightarrow SC\perp OC\Rightarrow SC\) là tiếp tuyến của $(O)$