K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

6 tháng 12 2017

Câu 1:

Theo bài ra ta có:

\(a^{12}+b^{12}=a^{12}+a^{11}b-a^{11}b-ab^{11}+ab^{11}+b^{12}\)

\(=a^{11}\left(a+b\right)-ab\left(a^{10}+b^{10}\right)+b^{11}\left(a+b\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^{11}+b^{11}\right)-ab\left(a^{10}+b^{10}\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^{12}+b^{12}\right)-ab\left(a^{12}+b^{12}\right)\)(gt cho rồi nhé)

\(=\left(a^{12}+b^{12}\right)\left(a+b-ab\right)\)

\(\Rightarrow a+b-ab=1\)

\(\Leftrightarrow a+b-ab-1=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(1-b\right)-\left(1-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-b\right)\left(a-1\right)=0\)

\(\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=1\\a=1\end{matrix}\right.\)

=> a^20 + b^20 = 2

:)) đừng ném đá nhá

7 tháng 12 2017

Giải đúng quá nhỉ?bn giỏi toán quá hihi

AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 5 2018

Bài 1:

Ta có:

\(\text{VT}=\frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2}\)

\(=a-\frac{2ab^2}{a+2b^2}+b-\frac{2bc^2}{b+2c^2}+c-\frac{2ca^2}{c+2a^2}=(a+b+c)-2\left(\frac{ab^2}{a+2b^2}+\frac{bc^2}{b+2c^2}+\frac{ca^2}{c+2a^2}\right)\)

\(=3-2M(*)\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(M=\frac{ab^2}{a+b^2+b^2}+\frac{bc^2}{b+c^2+c^2}+\frac{ca^2}{c+a^2+a^2}\leq \frac{ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}}+\frac{bc^2}{3\sqrt[3]{bc^4}}+\frac{ca^2}{3\sqrt[3]{ca^4}}\)

\(\Leftrightarrow M\leq \frac{1}{3}(\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2})\)

Tiếp tục áp dụng BĐT Cauchy:

\(\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2}\leq \frac{ab+ab+1}{3}+\frac{bc+bc+1}{3}+\frac{ca+ca+1}{3}=\frac{2(ab+bc+ac)+3}{3}\)

\(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3\) (quen thuộc)

\(\Rightarrow M\leq \frac{1}{3}.\frac{2.3+3}{3}=1(**)\)

Từ \((*);(**)\Rightarrow \text{VT}\geq 3-2.1=1\)

(đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 5 2018

Bài 2:

Áp dụng BĐT Cauchy -Schwarz:

\(\text{VT}=\frac{a^3}{a^2+a^2b^2}+\frac{b^3}{b^2+b^2c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2c^2}\geq \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2}{a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2}\)

hay:

\(\text{VT}\geq \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2}{1+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}(*)\)

Mặt khác, theo BĐT Cauchy ta dễ thấy:

\(a^4+b^4+c^4\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)

\(\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)

\(\Leftrightarrow 1\geq 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\leq \frac{1}{3}(**)\)

Từ \((*);(**)\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2}{1+\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 10 2021

Lời giải:

\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\Rightarrow \frac{abc}{c(a+b)}=\frac{abc}{a(b+c)}=\frac{bca}{b(c+a)}\)

\(\Leftrightarrow c(a+b)=a(b+c)=b(c+a)\)

\(\Leftrightarrow ac+bc=ab+ac=bc+ab\Leftrightarrow ab=bc=ac\)

\(\Rightarrow a=b=c\) (do $a,b,c>0$)

$\Rightarrow M=\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1$

26 tháng 10 2021

Sửa \(\le\) thành \(\ge\) nha bạn

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\)

Ta có \(\dfrac{a^2}{a+bc}=\dfrac{a^3}{a^2+abc}=\dfrac{a^3}{a^2+ab+bc+ca}=\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^2}{b+ca}=\dfrac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}\\\dfrac{c^2}{c+ba}=\dfrac{c^3}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT cosi:

\(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{64}}=\dfrac{3}{4}a\)

\(\dfrac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{b+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{b^3}{64}}=\dfrac{3}{4}b\)

\(\dfrac{c^3}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{b+c}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{c^3}{64}}=\dfrac{3}{4}c\)

Cộng VTV:

\(\Leftrightarrow VT+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}+\dfrac{b+c}{8}\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)\\ \Leftrightarrow VT\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{4}-\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{8}\\ \Leftrightarrow VT\ge\dfrac{a+b+c}{4}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=3\)

24 tháng 1 2022

k làm đc k cần phải ghi zậy mô ha

NV
24 tháng 1 2022

1.

\(y^2+y\left(x^3+x^2+x\right)+x^5-x^4+2x^3-2x^2\)

\(\Delta=\left(x^3+x^2+x\right)^2-4\left(x^5-x^4+2x^3-2x^2\right)\)

\(=\left(x^3-x^2+3x\right)^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{-x^3-x^2-x+x^3-x^2+3x}{2}=-x^2+x\\y=\dfrac{-x^3-x^2-x-x^3+x^2-3x}{2}=-x^3-2x\end{matrix}\right.\)

Hay đa thức trên có thể phân tích thành:

\(\left(x^2-x+y\right)\left(x^3+2x+y\right)\)

Dựa vào đó em tự tách cho phù hợp

NV
4 tháng 3 2022

Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P

Ta có:

\(P=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a^2}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{2\left(a^2+c^2\right)}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\)

Đặt \(\left(\sqrt{b^2+c^2};\sqrt{c^2+a^2};\sqrt{a^2+b^2}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=\sqrt{2011}\)

Đồng thời: \(\left\{{}\begin{matrix}y^2+z^2-x^2=2a^2\\z^2+x^2-y^2=2b^2\\x^2+y^2-z^2=2c^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=\dfrac{y^2+z^2-x^2}{2}\\b^2=\dfrac{z^2+x^2-y^2}{2}\\c^2=\dfrac{x^2+y^2-z^2}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{y^2+z^2-x^2}{x}+\dfrac{z^2+x^2-y^2}{y}+\dfrac{x^2+y^2-z^2}{z}\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{y^2+z^2}{x}+\dfrac{z^2+x^2}{y}+\dfrac{x^2+y^2}{z}-\left(x+y+z\right)\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{\left(y+z\right)^2}{2x}+\dfrac{\left(z+x\right)^2}{2y}+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2z}-\left(x+y+z\right)\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{\left(y+z+z+x+x+y\right)^2}{2x+2y+2z}-\left(x+y+z\right)\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(x+y+z\right)=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2011}{2}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{2011}{2}}\)