Cho a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0
CMR: ab + bc + ca ≤ 0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
21 tháng 3 2018
Ta có :
\(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)^2=0^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2+\left(2ab+2bc+2ac\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2=-\left(2ab+2bc+2ac\right)\)
Vì \(a^2+b^2+c^2\ge0\)
Nên \(-\left(2ab+2bc+2ac\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\)\(2ab+2bc+2ac\le0\)
\(\Rightarrow\)\(2\left(ab+bc+ac\right)\le0\)
\(\Rightarrow\)\(ab+bc+ac\le0\) ( đpcm )
Công thức lớp 8 chứ ko phải lớp 6 nhé
Chúc bạn học tốt ~
PM
20 tháng 3 2018
cm bđt ab+bc+ca \(\le\)\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)(biến đổi tương đương )
\(\Rightarrow\)ab+bc+ca \(\le\frac{0^2}{3}=0\)-đpcm
S
3
23 tháng 2 2018
Xin lỗi xíu nha cái chỗ suy ra 2ab+2bc+2ac >/= 0 bị đánh lộn dấu đổi lại thành ab=bc+ca</=0 hộ nhé
18 tháng 4 2017
em dùng tính chất tổng quát này nè \(x^2\ge0\)với mọi x
như vậy ta có a+b+c=0\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow a^{2^{ }}+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\)mà ta luôn có \(a^2\ge0\)với mọi a;\(b^2\ge0\)với mọi b;\(c^2\ge0\)nên suy ra \(a^2+b^2+c^2\ge0\forall a,b,c\)mà \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\Rightarrow2ab+2bc+2ca\ge0\)\(\Rightarrow\)ab+bc+ca\(\ge\)0.dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=0
T
24 tháng 9 2015
Giả sử a<0,vì abc>0 nên bc<0.Mặt khác thì ab+ac+bc>0<=>a(b+c)>-bc>0=>a(b+c)>0,mà a<0 nên b+c<0=>a+b+c<0(vô lý).Vậy điều giả sử trên là sai,
a,b,c là 3 số dương.
24 tháng 9 2015
Giả sử a<0,vì abc>0 nên bc<0.Mặt khác thì ab+ac+bc>0<=>a(b+c)>-bc>0=>a(b+c)>0,mà a<0 nên b+c<0=>a+b+c<0(vô lý).
Vậy điều giả sử trên là sai,
Do đó a,b,c là 3 số dương.
IH
1
27 tháng 4 2020
Xét các trường hợp
TH1 :có 1 số < 0, 2 số > 0.
giả sử a < 0, b,c > 0
\(\Rightarrow bc>0\)
Mà a < 0 \(\Rightarrow abc< 0\)( trái với gt )
\(\Rightarrow\)loại
TH2 : 2 số < 0, 1 số > 0
giả sử b,c < 0, a > 0
\(\Rightarrow bc>0,b+c< 0\)
Mà a + b + c > 0 nên \(a>-\left(b+c\right)>0\)
\(\Rightarrow a\left(b+c\right)< -\left(b+c\right)\left(b+c\right)=-\left(b+c\right)^2< 0\)
Nên ab + bc + ac = a ( b + c ) + bc < -(b+c)2 + bc = - ( b2 + c2 + bc ) < 0 ( trái với giả thiết )
TH3 : 3 số a,b,c < 0
\(\Rightarrow abc< 0\)( trái với giả thiết )
Vậy cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 8 2021
\(\dfrac{\sqrt{ab+2c^2}}{\sqrt{1+ab-c^2}}=\dfrac{\sqrt{ab+2c^2}}{\sqrt{a^2+b^2+ab}}=\dfrac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(a^2+b^2+ab\right)\left(ab+2c^2\right)}}\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2ab+2c^2}\)
\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+a^2+b^2+2c^2}=\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}=ab+2c^2\)
Tương tự và cộng lại:
\(VT\ge ab+bc+ca+2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2+ab+bc+ca\)
\(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
hay \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge0\) .Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=0\)
Suy ra \(ab+bc+ca=-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\le-\dfrac{0}{2}=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^2=b^2=c^2=0\Leftrightarrow a=b=c=0\)