Cho 3 số ko âm a, b, c và a+b+c = 1
Tìm GTNN của P = ab+bc+ca
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TD
1
12 tháng 8 2023
Ta có:
P = a + b + c ≤ a + b + a + b = 2(a + b) ≤ 2(-1) = -2
Ta cũng có:
P = a + b + c ≤ a + b + c - 2abc ≥ a + b + c - 2(-1)(-1)(-1) = -3
Vậy GTNN của P = -3 và GTLN của P = -2.
9 tháng 12 2018
2) \(S=a+\frac{1}{a}=\frac{15a}{16}+\left(\frac{a}{16}+\frac{1}{a}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(S\ge\frac{15a}{16}+2.\sqrt{\frac{a}{16}.\frac{1}{a}}=\frac{15.4}{16}+2.\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{15}{4}+2.\frac{1}{4}=\frac{15}{4}+\frac{1}{2}=\frac{15}{4}+\frac{2}{4}=\frac{17}{4}\)
\(S=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
Vậy \(S_{min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
T
9 tháng 12 2018
kudo shinichi sao cách làm giống của thầy Hồng Trí Quang vậy bạn?
\(S=a+\frac{1}{a}=\frac{15}{16}a+\left(\frac{a}{16}+\frac{1}{a}\right)\ge\frac{15}{16}a+2\sqrt{\frac{1.a}{16.a}}=\frac{15}{16}a+2.\frac{1}{4}\)
\(=\frac{15}{16}.4+\frac{1}{2}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
Dấu "=" xảy ra khi a = 4
Vậy \(S_{min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
14 tháng 1 2021
Ta có: \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\ge\sqrt{\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\sqrt{3};\sqrt{a^2+b^2+c^2}\le\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}=3\).
Đặt \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}=t\) \((\sqrt{3}\leq t\leq 3)\).
Ta có: \(P=t+\dfrac{9-t^2}{4}+\dfrac{1}{t^2}=\dfrac{4t^3+9t^2-t^4+4}{4t^2}\).
\(\Rightarrow P-\dfrac{28}{9}=\dfrac{\left(3-t\right)\left(9t^3-9t^2+4t+12\right)}{36}\).
Do \(\sqrt{3}\le t\le3\) nên \(3-t\geq 0\); \(9t^3-9t^2+4t+12>4t+12>0\).
Nên \(P\ge\dfrac{28}{9}\).
Đẳng thức xảy ra khi t = 3, tức (a, b, c) = (0; 0; 3) và các hoán vị.
Vậy...
9 tháng 11 2017
a2(b+c)2+5bc+b2(a+c)2+5ac≥4a29(b+c)2+4b29(a+c)2=49(a2(1−a)2+b2(1−b)2)(vì a+b+c=1)
a2(1−a)2−9a−24=(2−x)(3x−1)24(1−a)2≥0(vì )<a<1)
⇒a2(1−a)2≥9a−24
tương tự: b2(1−b)2≥9b−24
⇒P⩾49(9a−24+9b−24)−3(a+b)24=(a+b)−94−3(a+b)24.
đặt t=a+b(0<t<1)⇒P≥F(t)=−3t24+t−94(∗)
Xét hàm (∗) được: MinF(t)=F(23)=−19
⇒MinP=MinF(t)=−19.dấu "=" xảy ra khi a=b=c=13
NM
0
8 tháng 1 2022
\(\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{1-a-b-ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{\left(1-b\right)\left(1-a\right)}}\le\dfrac{\dfrac{a}{1-b}+\dfrac{b}{1-a}}{2}\left(1\right)\) \(tương-tự\Rightarrow\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}\le\dfrac{\dfrac{b}{1-c}+\dfrac{c}{1-b}}{2}\left(2\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{ca}{b+ ca}}\le\dfrac{\dfrac{c}{1-a}+\dfrac{a}{1-c}}{2}\left(3\right)\)
\( \left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow A\le\dfrac{\dfrac{a}{1-b}+\dfrac{b}{1-a}+\dfrac{b}{1-c}+\dfrac{c}{1-b}+\dfrac{c}{1-a}+\dfrac{a}{1-c}}{2}=\dfrac{\dfrac{a+c}{1-b}+\dfrac{b+c}{1-a}+\dfrac{b+a}{1-c}}{2}=\dfrac{\dfrac{1-b}{1-b}+\dfrac{1-a}{1-a}+\dfrac{1-c}{1-c}}{2}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow A_{max}=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
9 tháng 1 2021
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(\dfrac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{8}+\dfrac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{8}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{3}{4}\). (1)
Đặt \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}=t\Rightarrow\sqrt{\dfrac{4}{3}}\le t\le2\).
\(\dfrac{3\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{4}+\dfrac{ab+bc+ca}{2}=\dfrac{3t}{4}+\dfrac{4-2t^2}{4}=\dfrac{\left(2-t\right)\left(2t+1\right)}{4}+\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{3}{2}\). (2)
Cộng vế với vế của (1), (2) ta được \(P\ge\dfrac{9}{4}\).
...