Tìm Min : \(\frac{1}{x+1} +\frac{3x}{2}\left(x>-1\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NQ
3
T
6 tháng 8 2016
\(A=\frac{\left(3x-5\right)^2}{1-x^2}\Rightarrow A-Ax^2=9x^2-30x+25\Leftrightarrow x^2\left(A+9\right)-30x+25-A=0\)
với A=-9 => vô lí => A+9 khác 0
\(\Rightarrow\Delta_x=900-4\left(A+9\right)\left(25-A\right)=4A^2-64A\ge0\)(do A luôn tồn tại với mọi \(x\in\left(-1;1\right)\) )
\(\Rightarrow A\left(A-16\right)\ge0\Rightarrow A\ge16\)
Dấu = xảy ra khi x=5/3
6 tháng 8 2016
Tuấn . Điều kiện -1 < x < 1 sao x = 5/3 được ?
Đề bài hình như bị sai, phải là tìm GTNN của\(\frac{5-3x}{\sqrt{1-x^2}}\)thì mới có điều kiện -1 < x < 1
25 tháng 9 2016
a/ \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=\left(xy-\frac{1}{xy}\right)^2+4\ge4\)
Suy ra Min M = 4 . Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2
b/ Đề đúng phải là \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có \(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{4}\)
Lại có \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}\)
HP
19 tháng 5 2017
2, rút gọn B=x^2/(y-1)+y^2/(x-1)
AM-GM : x^2/(y-1)+4(y-1) >/ 4x ; y^2/(x-1)+4(x-1) >/ 4y
=> B >/ 4x-4(y-1)+4y-4(x-1)=4x-4y+4+4y-4x+4=8
minB=8
TN
19 tháng 5 2017
Câu 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(x+1\ge2\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow x+1+x+1\ge x+2\sqrt{x}+1\)
\(\Rightarrow2x+2\ge\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(1\right)\)
Tương tự cũng có: \(2y+2\ge\left(\sqrt{y}+1\right)^2\left(2\right)\)
Nhân theo vế của \(\left(1\right);\left(2\right)\) ta có:
\(\left(2x+2\right)\left(2y+2\right)\ge\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{y}+1\right)^2\ge16\)
\(\Rightarrow4\left(x+1\right)\left(y+1\right)\ge16\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\ge4\)
Lại áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(x+1\right)+\left(y+1\right)\ge2\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\ge4\)
\(\Rightarrow x+y\ge2\). Giờ thì áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(A=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=1\)
9 tháng 9 2017
Ta có : \(P=2x^2-8x+1=2\left(x^2-4x\right)+1=2\left(x^2-4x+4-4\right)+1=2\left(x-2\right)^2-7\)
Vì \(2\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\)
Nên : \(P=2\left(x-2\right)^2-7\ge-7\forall x\in R\)
Vậy \(P_{min}=-7\) khi x = 2
KY
19 tháng 9 2019
a) \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)
\(+\frac{1}{y^2}\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}\)
\(=2+\left(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\right)+\frac{255}{256x^2y^2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwar cho 2 số không âm, ta được:
\(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2y^2}{256x^2y^2}}=\frac{1}{8}\)
C/m được BĐT phụ: \(1=\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow16x^2y^2\le1\Leftrightarrow256x^2y^2\le16\Leftrightarrow\frac{255}{256x^2y^2}\ge\frac{255}{16}\)
\(\Rightarrow M\ge2+\frac{1}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2y^2=\frac{1}{256x^2y^2}\\x-y=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\))
19 tháng 9 2019
\(\frac{16}{3x+3y+2z}=\frac{16}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)+\left(x+y\right)1}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\)
Tương tự \(\frac{16}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+z}\)
\(\frac{16}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{y+z}\)
Cộng vế theo vế ta có:
\(16\left(\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\right)\le4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=24\)
\(\Rightarrow\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
P/S:Có dùng S-vác ngược dấu ạ.ý tưởng tách mẫu là từ tth_new - Trang của tth_new - Học toán với OnlineMath nha !
11 tháng 5 2019
Ta có
\(\left(x+1\right)^2\)lớn hơn hoặc bằng 0
=>\(\frac{1}{\left(x+1\right)^2}\)lớn hơn hoặc bằng 0
\(^{\left(y+2\right)^2}\)lớn hơn hoặc bằng 0
=>\(\frac{1}{\left(y+2\right)^2}\)lớn hơn hoặc bằng 0
\(\left(z+3\right)^2\)lớn hơn hoặc bằng 0
=>\(\frac{1}{\left(z+3\right)^2}\)lớn hơn hoặc bằng 0
=>B lớn hơn hoặc bằng 0
Vậy Min B =0 khi x=-1;y=-2;z=-3
30 tháng 12 2016
Ta có
\(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2\ge0\\\left(y+1\right)^2\ge0\\\left(z+1\right)^2\ge0\end{cases}}\)và \(\hept{\begin{cases}x^2+1>0\\y^2+1>0\\z^2+1>0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow A=\frac{\left(x+1\right)^2\left(y+1\right)^2}{z^2+1}+\frac{\left(y+1\right)^2\left(z+1\right)^2}{x^2+1}+\frac{\left(z+1\right)^2\left(x+1\right)^2}{y^2+1}\ge0\)
Kết hợp với điều kiện ban đầu thì
GTNN của A là 0 đạt được khi
\(\left(x,y,z\right)=\left(-1,-1,5;-1,5,-1;5,-1-1\right)\)
\(\frac{1}{x+1}+\frac{3x+3}{2}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x+1}\cdot\frac{3\left(x+1\right)}{2}}-\frac{3}{2}=2\sqrt{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}\)