Question

[Huong Bui]

Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC,tiep xúc với các cạnh AB,AC lần lượt tại D và E.Các tia CI và BI lần lượt cắt DE tại M và N.cmr

a)tam giác BDN đồng dạng với tam giác BIC

b)tam giác BDN đồng dạng với tam giác MEC

Answer 1

[Thầy Giáo Toán]

Ta có \(\angle BDN=180^{\circ}-\angle ADE=180^{\circ}-\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle BAC\right)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC.\) Mặt khác xét tam giác \(\Delta BCI\) có  \(\angle BIC=180^{\circ}-\angle IBC-\angle ICB=180^{\circ}-\frac{1}{2}\left(\angle ABC+\angle ACB\right)\)

\(=180^{\circ}-\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle BAC\right)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC\). 

Vậy ta có \(\angle BIC=\angle BDN.\) Xét hai tam giác \(\Delta BIC,\Delta BDN\) có \(\angle BIC=\angle BDN\left(=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC\right);\angle IBC=\angle DBN=\frac{1}{2}\angle ABC\to\)\(\Delta BIC\sim\Delta BDN\left(g.g\right)\).

b) Theo trên \(\angle BIC=\angle BDN=\angle MEC.\) Mà \(\angle ICB=\angle ECM=\frac{1}{2}\angle ACB\to\Delta BCI\sim\Delta MCE\left(g.g\right).\)  

Theo kết quả câu a) ta được \(\Delta BDN\sim\Delta MEC\) (ĐPCM)