Question

[Đàm Thảo Anh]

tìm Min y= \(\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\) với 0<x<1

Answer 1

[soyeon_Tiểubàng giải]

Đặt \(Z=\frac{2x}{1-x}+\frac{1-x}{x}\)

Áp dụng bđt Cô si với 2 số dương là \(\frac{2x}{1-x}\) và \(\frac{1-x}{x}\) ta có:

\(Z=\frac{2x}{1-x}+\frac{1-x}{x}\ge2.\sqrt{\frac{2x}{1-x}.\frac{1-x}{x}}=2.\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{2x}{1-x}=\frac{1-x}{x}\)

<=> 2x² = (1 - x)² <=> \(\sqrt{2x^2}=\sqrt{\left(1-x\right)^2}\Leftrightarrow\left|x.\sqrt{2}\right|=\left|1-x\right|\)

Mà theo đề bài 0 < x < 1 nên \(\begin{cases}x.\sqrt{2}>0\\1-x>0\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}\left|x.\sqrt{2}\right|=x.\sqrt{2}\\\left|1-x\right|=1-x\end{cases}\)

Do đó, \(x.\sqrt{2}=1-x\Leftrightarrow x.\sqrt{2}+x=1\Leftrightarrow x.\left(\sqrt{2}+1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1\)

Xét hiệu: \(y-Z=\left(\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\right)-\left(\frac{2x}{1-x}+\frac{1-x}{x}\right)=\frac{2-2x}{1-x}+\frac{1-1+x}{x}=2+1=3\)

\(\Leftrightarrow y=Z+3=2.\sqrt{2}+3\)

Vậy Min y = \(2.\sqrt{2}+3\) khi \(x=\sqrt{2}-1\)

Answer 2

[Lê Anh Thư]

soyeon_Tiểubàng giải, bạn học lớp 7 mà giải được toán lớp 9 luôn á?