Tìm m để \(x-\sqrt{x}=m\)có nghiệm
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ĐKXĐ: \(x\ge0\)
\(\left(x^2-x-m\right)\sqrt{x}=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2-x-m=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Giả sử (1) có nghiệm thì theo Viet ta có \(x_1+x_2=1>0\Rightarrow\left(1\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm dương nếu có nghiệm
Do đó:
a. Để pt có 1 nghiệm \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm
\(\Leftrightarrow\Delta=1+4m< 0\Leftrightarrow m< -\dfrac{1}{4}\)
b. Để pt có 2 nghiệm pb
TH1: (1) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0
\(\Leftrightarrow m=0\)
TH2: (1) có 2 nghiệm trái dấu
\(\Leftrightarrow x_1x_2=-m< 0\Leftrightarrow m>0\)
\(\Rightarrow m\ge0\)
c. Để pt có 3 nghiệm pb \(\Leftrightarrow\) (1) có 2 nghiệm dương pb
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=1+4m>0\\x_1x_2=-m>0\\\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{4}< m< 0\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ĐKXĐ: \(-3\le x\le1\)
\(4+2\sqrt{-x^2-2x+3}=m+1-x^2-2x\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x+3+2\sqrt{-x^2-2x+3}=m\)
Đặt \(\sqrt{-x^2-2x+3}=t\in\left[0;2\right]\)
\(\Rightarrow-t^2+2t+6=m\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=-t^2+2t+6\) trên \(\left[0;2\right]\)
\(f'\left(t\right)=-2t+2=0\Rightarrow t=1\)
\(f\left(0\right)=6;f\left(1\right)=7;f\left(2\right)=6\Rightarrow6\le m\le7\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Chép lại đề bài: ....
Đk: x\(\ge\)1
\(\sqrt[4]{x^2-1}=\sqrt[4]{\left(x-1\right).\left(x+1\right)}
\) (1)
chia cả 2 vế cho (1): \(3.\sqrt[4]{\dfrac{x-1}{x+1}}+m.\sqrt[4]{\dfrac{x+1}{x-1}}=1\) (đk: x>1)
Đặt \(\sqrt[4]{\dfrac{x-1}{x+1}}=t\) (t>0) => 3t +\(\dfrac{m}{t}\)=1
<=> 3t2 -t+m=0 (2)
Đến đây ta biện luận nghiệm của pt (2) có nghiệm dương
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}-\sqrt{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=m\)
Trong mp tọa độ, gọi \(A\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) ; \(B\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) và \(M\left(x;0\right)\) \(\Rightarrow AB=1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(x+\dfrac{1}{2};-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\\\overrightarrow{BM}=\left(x-\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM=\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\\BM=\sqrt{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\end{matrix}\right.\)
Theo BĐT tam giác: \(\left|AM-BM\right|< AB=1\)
\(\Rightarrow\left|m\right|< 1\Rightarrow-1< m< 1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét hàm:
\(f\left(x\right)=\sqrt[4]{x^2+1}-\sqrt[]{x}\) với \(x\ge0\)
\(f'\left(x\right)=\dfrac{x}{2\sqrt[4]{\left(x^2+1\right)^3}}-\dfrac{1}{2\sqrt[]{x}}=\dfrac{x\sqrt[]{x}-\sqrt[4]{\left(x^2+1\right)^3}}{2\sqrt[4]{x^2\left(x^2+1\right)^3}}\)
Ta có: \(\sqrt[4]{\left(x^2+1\right)^3}>\sqrt[4]{\left(x^2+0\right)^3}=x\sqrt[]{x}\Rightarrow x\sqrt[]{x}-\sqrt[4]{\left(x^2+1\right)^3}< 0\) ; \(\forall x>0\)
\(\Rightarrow\) Hàm nghịch biến trên R \(\Rightarrow f\left(x\right)\le f\left(0\right)=1\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt[4]{x^2+1}-x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{\left(\sqrt[4]{x^2+1}+x\right)\left(\sqrt[]{x^2+1}+x^2\right)}=0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)>0\) ; \(\forall x>0\)
\(\Rightarrow0< f\left(x\right)\le1\Rightarrow\) phương trình có nghiệm khi \(0< m\le1\)
vì saoHàm nghịch biến trên R \(\Rightarrow f\left(x\right)\le f\left(0\right)\)
\(x-\sqrt{x}=m\Leftrightarrow x-\sqrt{x}-m=0\)
\(\Delta=1-4\left(-m\right)=1+4m\)
Để phương trình trên có nghiệm khi \(\Delta\ge0\)
\(1+4m\ge0\Leftrightarrow m\ge-\frac{1}{4}\)