Question

[pham quang minh]

\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)với a,b,c>0 và ab+bc+ca=3 

Cô mình nói quy đồng và đưa về cái khác rồi cm nó luôn đúng.

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử \(c=\min (a,b,c)\). Khi đó từ \(ab+bc+ac=3\Rightarrow ab\geq 1\)

Ta có bổ đề sau: Với \(a,b>0,ab\geq 1\) thì \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}\)

Cách chứng minh bổ đề rất đơn giản, chỉ cần quy đồng ta có ngay đpcm

-----------------------------------------

Quay trở lại bài toán. Áp dụng bổ đề trên:

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1}\)

Ta sẽ CM \(\frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{2c^2+3+ab}{abc^2+ab+c^2+1}\geq\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow c^2+3\geq 3abc^2+ab\Leftrightarrow c^2+bc+ca\geq 3abc^2\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\geq 3abc\)

BĐT trên hiển nhiên đúng vì theo AM-GM ta có:

\(a+b+c\geq \sqrt{3(ab+bc+ac)}=3\) và \(3=ab+bc+ac\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow 3abc\leq 3\)

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Answer 2

[Ngô Thanh Sang]

giai thich > Không mất tính tổng quát, giả sử c=min(a,b,c)c=min(a,b,c) . Khi đó từ ab+bc+ca=3 ⇒ab≥1

ab<1 thi sao