cho tam giác ABC , trên BC lấy 2 điểm M và N sao cho BM= MN = NC . Từ M kẻ đường song song với AC , từ N kẻ đường song song với AB , chúng cắt nhau tại E . Nối AE, BE , CE. So sánh diện tích các cặp tam giác ABE với AEC và BEC với...
Đọc tiếp
cho tam giác ABC , trên BC lấy 2 điểm M và N sao cho BM= MN = NC . Từ M kẻ đường song song với AC , từ N kẻ đường song song với AB , chúng cắt nhau tại E . Nối AE, BE , CE. So sánh diện tích các cặp tam giác ABE với AEC và BEC với ABC
+) Xét tam giác AME và CME có:
Đáy ME chung
Chiều cao hạ từ A xuống ME bằng chiều cao hạ từ C xuống ME (Vì ME // AC)
Vậy nên \(S_{AME}=S_{CME}\)
Xét tam giác CME và EBC có:
- Chung chiều cao hạ từ E xuống BC
- Cạnh đáy \(MC=\frac{2}{3}BC\)
\(\Rightarrow S_{CME}=\frac{2}{3}S_{EBC}\)
\(\Rightarrow S_{AME}=\frac{2}{3}S_{EBC}\)
Xét tam giác ANE và BNE có:
Đáy NE chung
Chiều cao hạ từ A xuống NE bằng chiều cao hạ từ B xuống NE (Vì NE // AB)
Vậy nên \(S_{ANE}=S_{BNE}\)
Xét tam giác BNE và EBC có:
- Chung chiều cao hạ từ E xuống BC
- Cạnh đáy \(NB=\frac{2}{3}BC\)
\(\Rightarrow S_{BNE}=\frac{2}{3}S_{EBC}\)
\(\Rightarrow S_{ANE}=\frac{2}{3}S_{EBC}\)
Từ đó ta có \(S_{AME}=S_{ANE}\)
Dễ thấy \(S_{ABM}=S_{ANC};S_{EBM}=S_{ENC}\)
\(\Rightarrow S_{ABM}+S_{EBM}+S_{AME}=S_{ANC}+S_{ENC}+S_{ANE}\)
\(\Rightarrow S_{ABE}=S_{ACE}\)
+) Do \(S_{ABE}=S_{ACE}\Rightarrow BI=IC=\frac{MN}{2}=\frac{BM}{2}=\frac{NC}{2}\)
Vậy thì ta có \(S_{AME}=S_{CME}\Rightarrow S_{AMI}+S_{EMI}=S_{CME}\)
\(\Rightarrow S_{AMI}+\frac{1}{4}S_{EMC}=S_{EMC}\Rightarrow S_{AMI}=\frac{3}{4}S_{EMC}\Rightarrow S_{AMI}=3S_{EMI}\)
Vậy nên chiều cao hạ từ A xuống BC gấp 3 lần chiều cao hạ từ E xuống BC.
Từ đó ta có \(S_{ABC}=3S_{EBC}\)