cho a,b>0 biết a+b=5/4 tìm gtnn P = \(\frac{a}{b}+\frac{1}{4b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 1 2020
P = 4a + 7b + 10c + \(\frac{4}{a}+\frac{1}{4b}+\frac{1}{9c}\)
P = \(3\left(a+2b+3c\right)+\left(a+\frac{4}{a}\right)+\left(b+\frac{1}{4b}\right)+\left(c+\frac{1}{9c}\right)\)
\(\ge3.4+2\sqrt{a.\frac{4}{a}}+2\sqrt{b.\frac{1}{4b}}+2\sqrt{c.\frac{1}{9c}}=\frac{53}{3}\)
Vây GTNN của P là \(\frac{53}{3}\)khi \(a=1;b=\frac{1}{2};c=\frac{1}{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 8 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P=\frac{4}{a}+\frac{1}{4b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{4b}\geq \frac{(1+1+1+1+1)^2}{a+a+a+a+4b}\)
\(\Leftrightarrow P\geq \frac{25}{4(a+b)}=\frac{25}{4.\frac{5}{4}}=5\)
Vậy $P_{\min}=5$. Giá trị này đạt được tại $a=1; b=\frac{1}{4}$
31 tháng 8 2019
Cách khác
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki :
\(\left(a+b\right)\left(\frac{4}{a}+\frac{1}{4b}\right)\ge\left(\sqrt{a}\cdot\frac{2}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}\cdot\frac{1}{2\sqrt{b}}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{5}{4}\cdot\left(\frac{4}{a}+\frac{1}{4b}\right)\ge\left(2+\frac{1}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{5}{4}\cdot\left(\frac{4}{a}+\frac{1}{4b}\right)\ge\frac{25}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{4}{a}+\frac{1}{4b}\ge5\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{\sqrt{a}}{\frac{2}{\sqrt{a}}}=\frac{\sqrt{b}}{\frac{1}{2\sqrt{b}}}\\a+b=\frac{5}{4}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4b\\a+b=\frac{5}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
LH
0
D
0
T
3 tháng 5 2019
BĐT \(\frac{a^3}{2}+\frac{b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\) không cần chứng minh phải không?Thế thì bài này khá đơn giản mà?
\(A=4\left(a^3+b^3\right)+\frac{1}{ab}=8\left(\frac{a^3}{2}+\frac{b^3}{2}\right)+\frac{1}{ab}\)
\(\ge8\left(\frac{a+b}{2}\right)^3+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=1+4=5\)